<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<!DOCTYPE article PUBLIC "-//NLM//DTD Journal Publishing DTD v2.3 20070202//EN" "journalpublishing.dtd">
<article article-type="research-article" dtd-version="2.3" xml:lang="EN" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">
<front>
<journal-meta>
<journal-id journal-id-type="publisher-id">Front. Chem.</journal-id>
<journal-title>Frontiers in Chemistry</journal-title>
<abbrev-journal-title abbrev-type="pubmed">Front. Chem.</abbrev-journal-title>
<issn pub-type="epub">2296-2646</issn>
<publisher>
<publisher-name>Frontiers Media S.A.</publisher-name>
</publisher>
</journal-meta>
<article-meta>
<article-id pub-id-type="publisher-id">1388097</article-id>
<article-id pub-id-type="doi">10.3389/fchem.2024.1388097</article-id>
<article-categories>
<subj-group subj-group-type="heading">
<subject>Chemistry</subject>
<subj-group>
<subject>Original Research</subject>
</subj-group>
</subj-group>
</article-categories>
<title-group>
<article-title>Analyzing the expected values of neighborhood degree-based topological indices in random cyclooctane chains</article-title>
<alt-title alt-title-type="left-running-head">Jing et al.</alt-title>
<alt-title alt-title-type="right-running-head">
<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://doi.org/10.3389/fchem.2024.1388097">10.3389/fchem.2024.1388097</ext-link>
</alt-title>
</title-group>
<contrib-group>
<contrib contrib-type="author">
<name>
<surname>Jing</surname>
<given-names>Liang</given-names>
</name>
<xref ref-type="aff" rid="aff1">
<sup>1</sup>
</xref>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/conceptualization/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/formal-analysis/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/investigation/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/methodology/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/validation/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/Writing - review &#x26; editing/"/>
</contrib>
<contrib contrib-type="author">
<name>
<surname>Yousaf</surname>
<given-names>Shamaila</given-names>
</name>
<xref ref-type="aff" rid="aff2">
<sup>2</sup>
</xref>
<xref ref-type="corresp" rid="c001">&#x2a;</xref>
<uri xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/2697425/overview"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/conceptualization/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/formal-analysis/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/investigation/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/methodology/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/validation/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/writing-original-draft/"/>
</contrib>
<contrib contrib-type="author">
<name>
<surname>Farhad</surname>
<given-names>Saira</given-names>
</name>
<xref ref-type="aff" rid="aff2">
<sup>2</sup>
</xref>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/conceptualization/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/formal-analysis/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/investigation/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/methodology/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/validation/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/writing-original-draft/"/>
</contrib>
<contrib contrib-type="author">
<name>
<surname>Tchier</surname>
<given-names>Fairouz</given-names>
</name>
<xref ref-type="aff" rid="aff3">
<sup>3</sup>
</xref>
<uri xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/846488/overview"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/conceptualization/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/formal-analysis/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/investigation/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/methodology/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/validation/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/Writing - review &#x26; editing/"/>
</contrib>
<contrib contrib-type="author" corresp="yes">
<name>
<surname>Aslam</surname>
<given-names>Adnan</given-names>
</name>
<xref ref-type="aff" rid="aff4">
<sup>4</sup>
</xref>
<xref ref-type="corresp" rid="c001">&#x2a;</xref>
<uri xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/922761/overview"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/conceptualization/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/formal-analysis/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/investigation/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/methodology/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/validation/"/>
<role content-type="https://credit.niso.org/contributor-roles/Writing - review &#x26; editing/"/>
</contrib>
</contrib-group>
<aff id="aff1">
<sup>1</sup>
<institution>General Education Department</institution>, <institution>Anhui Xinhua University</institution>, <addr-line>Hefei</addr-line>, <country>China</country>
</aff>
<aff id="aff2">
<sup>2</sup>
<institution>Department of Mathematics</institution>, <institution>University of Gujrat</institution>, <addr-line>Gujrat</addr-line>, <country>Pakistan</country>
</aff>
<aff id="aff3">
<sup>3</sup>
<institution>Mathematics Department</institution>, <institution>College of Science</institution>, <institution>King Saud University</institution>, <addr-line>Riyadh</addr-line>, <country>Saudi Arabia</country>
</aff>
<aff id="aff4">
<sup>4</sup>
<institution>Department of Natural Sciences and Humanities</institution>, <institution>University of Engineering and Technology</institution>, <addr-line>Lahore(RCET)</addr-line>, <addr-line>Lahore</addr-line>, <country>Pakistan</country>
</aff>
<author-notes>
<fn fn-type="edited-by">
<p>
<bold>Edited by:</bold> <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/947121/overview">Santanab Giri</ext-link>, Haldia Institute of Technology, India</p>
</fn>
<fn fn-type="edited-by">
<p>
<bold>Reviewed by:</bold> <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/1467454/overview">Savari Prabhu</ext-link>, Rajalakshmi Engineering College, India</p>
<p>
<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/1989194/overview">Joseph Clement</ext-link>, VIT University, India</p>
</fn>
<corresp id="c001">&#x2a;Correspondence: Adnan Aslam, <email>adnanaslam15@yahoo.com</email>; Shamaila Yousaf, <email>shumaila.yousaf@uog.edu.pk</email>
</corresp>
</author-notes>
<pub-date pub-type="epub">
<day>26</day>
<month>04</month>
<year>2024</year>
</pub-date>
<pub-date pub-type="collection">
<year>2024</year>
</pub-date>
<volume>12</volume>
<elocation-id>1388097</elocation-id>
<history>
<date date-type="received">
<day>19</day>
<month>02</month>
<year>2024</year>
</date>
<date date-type="accepted">
<day>25</day>
<month>03</month>
<year>2024</year>
</date>
</history>
<permissions>
<copyright-statement>Copyright &#xa9; 2024 Jing, Yousaf, Farhad, Tchier and Aslam.</copyright-statement>
<copyright-year>2024</copyright-year>
<copyright-holder>Jing, Yousaf, Farhad, Tchier and Aslam</copyright-holder>
<license xlink:href="http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">
<p>This is an open-access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (CC BY). The use, distribution or reproduction in other forums is permitted, provided the original author(s) and the copyright owner(s) are credited and that the original publication in this journal is cited, in accordance with accepted academic practice. No use, distribution or reproduction is permitted which does not comply with these terms.</p>
</license>
</permissions>
<abstract>
<p>Cyclooctane is classified as a cycloalkane, characterized by the chemical formula <italic>C</italic>
<sub>8</sub>
<italic>H</italic>
<sub>16</sub>. It consists of a closed ring structure composed of eight carbon atoms and sixteen hydrogen atoms. A cyclooctane chain typically refers to a series of cyclooctane molecules linked together. Cyclooctane and its derivatives find various applications in chemistry, materials science, and industry. Topological indices are numerical values associated with the molecular graph of a chemical compound, predicting certain physical or chemical properties. In this study, we calculated the expected values of degree-based and neighborhood degree-based topological descriptors for random cyclooctane chains. A comparison of these topological indices&#x2019; expected values is presented at the end.</p>
</abstract>
<kwd-group>
<kwd>chemical graph theory</kwd>
<kwd>topological indices</kwd>
<kwd>cyclooctane chains</kwd>
<kwd>expected values</kwd>
<kwd>Randic index</kwd>
</kwd-group>
<custom-meta-wrap>
<custom-meta>
<meta-name>section-at-acceptance</meta-name>
<meta-value>Theoretical and Computational Chemistry</meta-value>
</custom-meta>
</custom-meta-wrap>
</article-meta>
</front>
<body>
<sec id="s1">
<title>1 Introduction</title>
<p>Cyclooctane itself is a cyclic molecule, forming a stable ring structure with eight carbon atoms and saturated with hydrogen atoms. One way to modify cyclooctane is by substituting some of its hydrogen atoms with other functional groups, leading to various derivatives with different properties and reactivities. Substituted cyclooctane derivatives can serve as essential building blocks in organic synthesis.</p>
<p>The unique structure and strain of cyclooctane can influence the reactions it undergoes, potentially leading to interesting transformations. Cyclooctane rings can be part of larger molecules, where their strain energy might play a role in the overall reactivity and stability of the molecule. The strain energy in cyclooctane rings, attributed to their angle strain, can make them more reactive in certain reactions, possibly resulting in unexpected products.</p>
<p>Cyclooctane and its derivatives are intriguing subjects for computational chemistry studies, aiding researchers in understanding their structures, energies, and reactivities (<xref ref-type="bibr" rid="B5">Bharadwaj, 2000</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B22">Salamci et al., 2006</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B1">Alamdari et al., 2008</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B3">Ali et al., 2012</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B4">Banu et al., 2015</xref>). These derivatives find applications in combustion kinetics, drug synthesis, organic synthesis, and more. For instance, cyclooctane-1,2,5,6-tetrol is utilized in the osmium-catalyzed bis-dihydroxylation of 1,5-cyclooctadiene (<xref ref-type="bibr" rid="B22">Salamci et al., 2006</xref>). Alamdari (<xref ref-type="bibr" rid="B1">Alamdari et al., 2008</xref>), conducted a study on the synthesis of some cyclooctane-based quinoxalines and pyrazines.</p>
<p>The molecular structures, specifically the graphs depicting carbon atoms, in cyclooctanes form cyclooctane systems (also referred to as octagonal systems (<xref ref-type="bibr" rid="B6">Brunvoll et al., 1997</xref>)). In these systems, each inner face is enclosed by a regular octagon, and any two octagons are linked by an edge. Let <italic>G</italic> be a graph with a vertex set and an edge set denoted by <italic>V</italic> and <italic>E</italic>. A vertex <italic>v</italic> is called the neighbor of vertex <italic>w</italic> if there is an edge between them (or <italic>vw</italic> &#x2208; <italic>E</italic>). Let <italic>N</italic>(<italic>v</italic>) denote the set of neighbors of <italic>v</italic>. The degree of vertex <italic>v</italic> is the number of edges incident to it and is denoted by <italic>d</italic>(<italic>v</italic>). We use the notation <italic>&#x3b4;</italic>(<italic>v</italic>) to denote the neighborhood degree of a vertex <italic>v</italic> and is defined as the sum of the degree of the vertices that are adjacent to <italic>v</italic>, i. e., <italic>&#x3b4;</italic>(<italic>v</italic>) &#x3d; <italic>&#x2211;</italic>
<sub>
<italic>u</italic>&#x2208;<italic>N</italic>(<italic>v</italic>)</sub>
<italic>d</italic>(<italic>u</italic>). For basic definitions related to graph theory, see (<xref ref-type="bibr" rid="B23">West, 2001</xref>).</p>
<p>Topological indices are numerical descriptors that provide information about the connectivity and structure of molecules. Up until now, many topological indices have been proposed by different researchers with applications in chemistry. Among these topological indices, the ones most studied are those based on the degree of vertices in a graph. Milan Randic introduced the first degree-based topological index known as the branching index (<xref ref-type="bibr" rid="B16">Randic, 1975</xref>). Randic noted that this index is well-suited for assessing the degree of branching within the carbon atom skelton of saturated hydrocarbons. For a graph <italic>G</italic>, the Randic index is the sum of <inline-formula id="inf1">
<mml:math id="m1">
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>d</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>v</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>d</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>w</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula> over all edges <italic>vw</italic> &#x2208; <italic>E</italic>, i.e.,<disp-formula id="equ1">
<mml:math id="m2">
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a3;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mi>w</mml:mi>
<mml:mo>&#x2208;</mml:mo>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>d</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>v</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>d</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>w</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>The Randic index shows strong correlations with various physico-chemical properties of alkanes, including but not limited to boiling points, enthalpies of formation, chromatographic retention periods, surface areas, and parameters in the Antoine equation for vapor pressure (<xref ref-type="bibr" rid="B11">Kier et al., 1975</xref>).</p>
<p>The second Gourava index was proposed by Kulli (<xref ref-type="bibr" rid="B12">Kulli, 2017</xref>), in 2017 and is defined as<disp-formula id="equ2">
<mml:math id="m3">
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a3;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mi>w</mml:mi>
<mml:mo>&#x2208;</mml:mo>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>d</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>v</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>d</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>w</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>d</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>v</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>d</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>w</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Recently, Mondal et al. (<xref ref-type="bibr" rid="B7">Das and Trinajstic, 2010</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B10">Imran et al., 2017</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B2">Ali et al., 2019</xref>), proposed some topological indices based on neighborhood degree. The modified neighborhood forgotten index of a graph <italic>G</italic> is denoted by <inline-formula id="inf2">
<mml:math id="m4">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> and has the mathematical formula<disp-formula id="e1">
<mml:math id="m5">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mstyle displaystyle="true">
<mml:munder>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2211;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2208;</mml:mo>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:munder>
</mml:mstyle>
<mml:mi>&#x3b4;</mml:mi>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3b4;</mml:mi>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>v</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
<label>(1)</label>
</disp-formula>The second modified neighborhood Zagreb index of a graph <italic>G</italic> is defined as<disp-formula id="e2">
<mml:math id="m6">
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mstyle displaystyle="true">
<mml:munder>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2211;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2208;</mml:mo>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:munder>
</mml:mstyle>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mi>&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>v</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
<label>(2)</label>
</disp-formula>It was observed that these two topological descriptors show a very good correlation with two physical properties, namely, the acentric factor and the entropy of the octane isomers. Therefore, these topological descriptors are of chemical importance. In, Mondal et al. proposed a few more topological descriptors based on neighborhood degree. He named these topological descriptors the third NDe index and the fourth NDe index. These topological indices are defined as<disp-formula id="e3">
<mml:math id="m7">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mstyle displaystyle="true">
<mml:munder>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2211;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2208;</mml:mo>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:munder>
</mml:mstyle>
<mml:mi>&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mi>&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>v</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>v</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:math>
<label>(3)</label>
</disp-formula>
<disp-formula id="e4">
<mml:math id="m8">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mstyle displaystyle="true">
<mml:munder>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2211;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2208;</mml:mo>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:munder>
</mml:mstyle>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mi>&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>v</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
<label>(4)</label>
</disp-formula>Different researchers have studied the expected values of random molecular structures in the recent past. Raza et al. (<xref ref-type="bibr" rid="B21">Raza et al., 2023a</xref>), conducted calculations for the expected values of sum-connectivity, harmonic, Sombor, and Zagreb indices in cyclooctane chains. In the work presented in (<xref ref-type="bibr" rid="B19">Raza, 2022</xref>), expected values for the harmonic and second Zagreb indices were determined for random spiro chains and polyphenyl. Additionally, Raza et al. (<xref ref-type="bibr" rid="B20">Raza et al., 2023b</xref>), computed the expected value of the first Zagreb connection index in random cyclooctane chains, random polyphenyl chains, and random chain networks. Explicit formulas for the expected values of certain degree-based topological descriptors of random phenylene chains were provided by Hui et al. (<xref ref-type="bibr" rid="B9">Hui et al., 2023</xref>). Zhang et al. (<xref ref-type="bibr" rid="B27">Zhang et al., 2018</xref>), discussed the topological indices of generalized bridge molecular graphs, while in separate works (<xref ref-type="bibr" rid="B25">Zhang et al., 2022</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B26">Zhang et al., 2023</xref>), they computed the topological indices of some supramolecular chains using graph invariants. For more details on this topic of research, readers can see the following papers (<xref ref-type="bibr" rid="B13">Mondal et al., 2019</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B24">Xu et al., 2020</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B15">Mondal et al., 2021</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B18">Raza, 2021</xref>).</p>
<p>The main aim of this work is to find the expected values of the Randic index, the second Gourava index, the modified neighborhood forgotten index, the third degree neighborhood index, and the fourth degree neighborhood index of the random cyclooctane chain. Moreover, we give a comparison between the expected values of these topological indices.</p>
</sec>
<sec id="s2">
<title>2 Expected values of topological descriptors for random cyclooctane chains</title>
<p>Cyclooctane is a cyclic hydrocarbon with eight carbon atoms arranged in a ring. While it does not form chains itself, neighboring cyclooctane molecules can interact through intermolecular forces. Understanding these interactions is crucial for studying the physical properties and behavior of cyclooctane and similar cycloalkanes. Cyclooctane graphs are examples of cyclic graphs, which are graphs containing a single cycle as their main structural component. A random cyclooctane chain with a length of <italic>t</italic> is obtained by connecting <italic>t</italic> octagons in a linear arrangement, where any two consecutive octagons are randomly joined by an edge between vertices. We use the notation <inline-formula id="inf3">
<mml:math id="m9">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> to represent a random cyclooctane chain containing <italic>t</italic> octagons (of length <italic>t</italic>). Observe that there is a unique cyclooctane chain for <italic>t</italic> &#x3d; 1, 2 (see <xref ref-type="fig" rid="F1">Figure 1</xref>). For <italic>t</italic> &#x2265; 3, at each step, two octagons can be attached to each other by an edge in four different ways, which results in a random cyclooctane chain <inline-formula id="inf4">
<mml:math id="m10">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> (see <xref ref-type="fig" rid="F2">Figure 2</xref>). Suppose <italic>p</italic>
<sub>1</sub>, <italic>p</italic>
<sub>2</sub>, <italic>p</italic>
<sub>3</sub>, and <italic>p</italic>
<sub>4</sub> are the probabilities of attaching the octagons at these four places. We call the corresponding cyclooctane chain with probability <italic>p</italic>
<sub>
<italic>i</italic>
</sub> as <inline-formula id="inf5">
<mml:math id="m11">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula> (see <xref ref-type="fig" rid="F3">Figure 3</xref>). The four possible constructions at each step are as follows:<list list-type="simple">
<list-item>
<p>(a) <inline-formula id="inf6">
<mml:math id="m12">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>1</sub>,</p>
</list-item>
<list-item>
<p>(b) <inline-formula id="inf7">
<mml:math id="m13">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>2</sub>,</p>
</list-item>
<list-item>
<p>(c) <inline-formula id="inf8">
<mml:math id="m14">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>3</sub>,</p>
</list-item>
<list-item>
<p>(d) <inline-formula id="inf9">
<mml:math id="m15">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>4</sub> &#x3d; (1 &#x2212; <italic>p</italic>
<sub>1</sub> &#x2212; <italic>p</italic>
<sub>2</sub> &#x2212; <italic>p</italic>
<sub>3</sub>), with probability.</p>
</list-item>
</list>From the graph of the cyclooctane chain, it is easy to see that there are only (2,2), (2,3), and (3,3) types of edges. Let <italic>x</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> denote the number of edges of <inline-formula id="inf10">
<mml:math id="m16">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> with end vertices of degrees <italic>i</italic> and <italic>j</italic>, respectively. By using the definition, the expressions for the Randic index and the second Gourava index are as follows:<disp-formula id="e5">
<mml:math id="m17">
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
<label>(5)</label>
</disp-formula>
<disp-formula id="e6">
<mml:math id="m18">
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>16</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>30</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>54</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
<label>(6)</label>
</disp-formula>Since <inline-formula id="inf11">
<mml:math id="m19">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> is a random cyclooctane chain, it follows that <inline-formula id="inf12">
<mml:math id="m20">
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf13">
<mml:math id="m21">
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> are random variables. We use the notations <inline-formula id="inf14">
<mml:math id="m22">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf15">
<mml:math id="m23">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> to denote the expected values of the random cyclooctane chain <inline-formula id="inf16">
<mml:math id="m24">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>. In the next theorem, we give an explicit expression for the expected value of the Randic index for the cyclooctane chain <inline-formula id="inf17">
<mml:math id="m25">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<fig id="F1" position="float">
<label>FIGURE 1</label>
<caption>
<p>cyclooctane chains with single and double octagons.</p>
</caption>
<graphic xlink:href="fchem-12-1388097-g001.tif"/>
</fig>
<fig id="F2" position="float">
<label>FIGURE 2</label>
<caption>
<p>cyclooctane chains with <italic>t</italic> &#x3d;3.</p>
</caption>
<graphic xlink:href="fchem-12-1388097-g002.tif"/>
</fig>
<fig id="F3" position="float">
<label>FIGURE 3</label>
<caption>
<p>cyclooctane chains with <italic>t</italic> &#x3e;3.</p>
</caption>
<graphic xlink:href="fchem-12-1388097-g003.tif"/>
</fig>
<p>
<statement content-type="theorem" id="Theorem_2.1">
<label>Theorem 2.1.</label>
<p>Let <inline-formula id="inf18">
<mml:math id="m26">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> be a random cyclooctane chain of length <italic>t</italic> &#x2265; 2. Then,<disp-formula id="equ3">
<mml:math id="m27">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>15</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>15</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>15</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Proof. Let <italic>t</italic> &#x3d; 2, then <inline-formula id="inf19">
<mml:math id="m28">
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>19</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>, which is indeed true. For <italic>t</italic> &#x2265; 3, there are four possibilities.</p>
<p>
<list list-type="simple">
<list-item>
<label>A)</label>
<p>If <inline-formula id="inf20">
<mml:math id="m29">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>1</sub>, then <inline-formula id="inf21">
<mml:math id="m30">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf22">
<mml:math id="m31">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf23">
<mml:math id="m32">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. Substituting these values into equation <xref ref-type="disp-formula" rid="e5">5</xref> yields <inline-formula id="inf24">
<mml:math id="m33">
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>19</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>B)</label>
<p>If <inline-formula id="inf25">
<mml:math id="m34">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>2</sub>, then <inline-formula id="inf26">
<mml:math id="m35">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf27">
<mml:math id="m36">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf28">
<mml:math id="m37">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. Substituting these values into equation <xref ref-type="disp-formula" rid="e5">5</xref> yields <inline-formula id="inf29">
<mml:math id="m38">
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>C)</label>
<p>If <inline-formula id="inf30">
<mml:math id="m39">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>3</sub>, then <inline-formula id="inf31">
<mml:math id="m40">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf32">
<mml:math id="m41">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf33">
<mml:math id="m42">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. Substituting these values into equation <xref ref-type="disp-formula" rid="e5">5</xref> yields <inline-formula id="inf34">
<mml:math id="m43">
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>D)</label>
<p>If <inline-formula id="inf35">
<mml:math id="m44">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>4</sub> &#x3d; (1 &#x2212; <italic>p</italic>
<sub>1</sub> &#x2212; <italic>p</italic>
<sub>2</sub> &#x2212; <italic>p</italic>
<sub>3</sub>), then <inline-formula id="inf36">
<mml:math id="m45">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf37">
<mml:math id="m46">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf38">
<mml:math id="m47">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. Substituting these values into equation <xref ref-type="disp-formula" rid="e5">5</xref> yields <inline-formula id="inf39">
<mml:math id="m48">
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
</list>
</p>
<p>Now, we have<disp-formula id="equ4">
<mml:math id="m49">
<mml:mtable class="eqnarray-star">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>19</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>By employing the operator <italic>E</italic> on both sides and considering the fact that <inline-formula id="inf40">
<mml:math id="m50">
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we get<disp-formula id="e7">
<mml:math id="m51">
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mi>R</mml:mi>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>19</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
<label>(7)</label>
</disp-formula>Finally, solving the recurrence relation <xref ref-type="disp-formula" rid="e7">(7)</xref>, we obtain<disp-formula id="equ5">
<mml:math id="m52">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>15</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>15</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>15</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement content-type="theorem" id="Theorem_2.2">
<label>Theorem 2.2.</label>
<p>Let <inline-formula id="inf41">
<mml:math id="m53">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> be a random cyclooctane chain of length <italic>t</italic> &#x2265; 2. Then<disp-formula id="equ6">
<mml:math id="m54">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>238</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>110</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
</statement>
</p>
<p>Proof. Let <italic>t</italic> &#x3d; 2, then <italic>E</italic>
<sub>2</sub> &#x3d; 366, which is indeed true. For <italic>t</italic> &#x2265; 3, there are four possibilities</p>
<p>
<list list-type="simple">
<list-item>
<label>A)</label>
<p>If <inline-formula id="inf42">
<mml:math id="m55">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>1</sub>, then <inline-formula id="inf43">
<mml:math id="m56">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf44">
<mml:math id="m57">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf45">
<mml:math id="m58">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. Using these values in Eq. <xref ref-type="disp-formula" rid="e6">6</xref> we have <inline-formula id="inf46">
<mml:math id="m59">
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>248</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>B)</label>
<p>If <inline-formula id="inf47">
<mml:math id="m60">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>2</sub>, then <inline-formula id="inf48">
<mml:math id="m61">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf49">
<mml:math id="m62">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf50">
<mml:math id="m63">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. Using these values in Eq. <xref ref-type="disp-formula" rid="e6">6</xref> we have <inline-formula id="inf51">
<mml:math id="m64">
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>238</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>C)</label>
<p>If <inline-formula id="inf52">
<mml:math id="m65">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>3</sub>, then <inline-formula id="inf53">
<mml:math id="m66">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf54">
<mml:math id="m67">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf55">
<mml:math id="m68">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. Using these values in Eq. <xref ref-type="disp-formula" rid="e6">6</xref> we have <inline-formula id="inf56">
<mml:math id="m69">
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>238</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>D)</label>
<p>If <inline-formula id="inf57">
<mml:math id="m70">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>4</sub> &#x3d; (1 &#x2212; <italic>p</italic>
<sub>1</sub> &#x2212; <italic>p</italic>
<sub>2</sub> &#x2212; <italic>p</italic>
<sub>3</sub>), then <inline-formula id="inf58">
<mml:math id="m71">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>22</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf59">
<mml:math id="m72">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>23</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf60">
<mml:math id="m73">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>33</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. Using these values in Eq. <xref ref-type="disp-formula" rid="e6">6</xref> we have <inline-formula id="inf61">
<mml:math id="m74">
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>238</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
</list>
</p>
<p>Thus, we obtain<disp-formula id="equ7">
<mml:math id="m75">
<mml:mtable class="eqnarray-star">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>248</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>238</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>238</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>238</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>248</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>238</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>238</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>238</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>By employing the operator <italic>E</italic> on both sides and considering the fact that <inline-formula id="inf62">
<mml:math id="m76">
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we get<disp-formula id="e8">
<mml:math id="m77">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>238</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
<label>(8)</label>
</disp-formula>Finally, solving the recurrence relation (8), we obtain<disp-formula id="equ8">
<mml:math id="m78">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>238</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>110</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>If the probability is invariable to the step parameter and constant, then this process is called a zeroth-order Markov process. We obtain some special classes of cyclooctane chains if we take one of the values of <italic>p</italic>
<sub>1</sub>,<italic>p</italic>
<sub>2</sub>, <italic>p</italic>
<sub>3</sub>, and <italic>p</italic>
<sub>4</sub> as one. Let <inline-formula id="inf63">
<mml:math id="m79">
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf64">
<mml:math id="m80">
<mml:mi>Z</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf65">
<mml:math id="m81">
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf66">
<mml:math id="m82">
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> (see <xref ref-type="fig" rid="F4">Figure 4</xref>) be the classes of cyclooctane chains obtained by taking <italic>p</italic>
<sub>1</sub> &#x3d; 1, <italic>p</italic>
<sub>2</sub> &#x3d; 1, <italic>p</italic>
<sub>3</sub> &#x3d; 1, and <italic>p</italic>
<sub>4</sub> &#x3d; 1, respectively. The following corollary is an immediate consequence of Theorems 2.1 and 2.2.</p>
<fig id="F4" position="float">
<label>FIGURE 4</label>
<caption>
<p>some special cases of cyclooctane chains <inline-formula id="inf67">
<mml:math id="m83">
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>Z</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</caption>
<graphic xlink:href="fchem-12-1388097-g004.tif"/>
</fig>
<statement content-type="theorem" id="Theorem_2.3">
<label>Corollary 2.3.</label>
<p>
<italic>Let</italic> <italic>t</italic> &#x2265; 2<italic>, then</italic>
<list list-type="simple">
<list-item>
<label>
<italic>1.</italic>
</label>
<p>&#x2022; <inline-formula id="inf68">
<mml:math id="m84">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>19</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<list list-type="simple">
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf69">
<mml:math id="m85">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>Z</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>15</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf70">
<mml:math id="m86">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>15</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf71">
<mml:math id="m87">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>15</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
</list>
</list-item>
<list-item>
<label>
<italic>2.</italic>
</label>
<p>&#x2022; <inline-formula id="inf72">
<mml:math id="m88">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>248</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>130</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<list list-type="simple">
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf73">
<mml:math id="m89">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>Z</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>238</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>110</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf74">
<mml:math id="m90">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>238</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>110</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf75">
<mml:math id="m91">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>238</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>110</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
</list>
</list-item>
</list>
</p>
</statement>
<p>Next, we compute the expected values of topological indices depending on neighborhood degree. For this, we need to find the partition of the edge set of <inline-formula id="inf76">
<mml:math id="m92">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> based on the neighborhood degree of the end vertices of each edge. Observe that there are only (4,4), (4,5), (5,5), (5,7), (5,8), (6,7), (7,7), (7,8), and (8,8) types of edges based on neighborhood degree in <inline-formula id="inf77">
<mml:math id="m93">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>. We use the notation <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> to denote the number of edges of <inline-formula id="inf78">
<mml:math id="m94">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> whose end vertices have neighborhood degrees <italic>i</italic> and <italic>j</italic>, respectively. For <italic>t</italic> &#x3d; 3, it is easy to calculate that <inline-formula id="inf79">
<mml:math id="m95">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>11</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf80">
<mml:math id="m96">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf81">
<mml:math id="m97">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>58</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf82">
<mml:math id="m98">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>78</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf83">
<mml:math id="m99">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>88</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf84">
<mml:math id="m100">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf85">
<mml:math id="m101">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf86">
<mml:math id="m102">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf87">
<mml:math id="m103">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>67</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf88">
<mml:math id="m104">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf89">
<mml:math id="m105">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>9</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf90">
<mml:math id="m106">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf91">
<mml:math id="m107">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>55</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf92">
<mml:math id="m108">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>8</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf93">
<mml:math id="m109">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>8</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf94">
<mml:math id="m110">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>8</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf95">
<mml:math id="m111">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>8</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf96">
<mml:math id="m112">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The expressions for the neighborhood degree based topological indices are as follows<disp-formula id="e9">
<mml:math id="m113">
<mml:mtable class="align" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>32</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>41</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>50</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>55</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>74</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>89</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>58</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>85</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>67</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>98</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>113</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>78</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>128</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>88</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
<label>(9)</label>
</disp-formula>
<disp-formula id="e10">
<mml:math id="m114">
<mml:mtable class="align" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>16</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>20</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>25</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>55</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>40</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>58</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>42</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>67</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>49</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>56</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>78</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>64</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>88</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
<label>(10)</label>
</disp-formula>
<disp-formula id="e11">
<mml:math id="m115">
<mml:mtable class="align" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>128</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>180</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>250</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>55</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>420</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>520</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>58</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>546</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>67</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>686</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>840</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>78</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1024</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>88</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
<label>(11)</label>
</disp-formula>
<disp-formula id="e12">
<mml:math id="m116">
<mml:mtable class="align" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>55</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>58</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>42</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>67</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>14</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>78</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>8</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>88</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
<label>(12)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>
<statement content-type="theorem" id="Theorem_2.4">
<label>Theorem 2.4.</label>
<p>Let <inline-formula id="inf97">
<mml:math id="m117">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> be a random cyclooctane chain of length <italic>t</italic> &#x2265; 3. Then<disp-formula id="equ9">
<mml:math id="m118">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>1372</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mn>54</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mn>558</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
</statement>
</p>
<p>Proof. For <italic>t</italic> &#x3d; 3, we have <inline-formula id="inf98">
<mml:math id="m119">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>1462</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf99">
<mml:math id="m120">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>1376</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf100">
<mml:math id="m121">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>1372</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf101">
<mml:math id="m122">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>1372</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. Hence, <inline-formula id="inf102">
<mml:math id="m123">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>1372</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>54</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>. For <italic>t</italic> &#x2265; 3, there are four possibilities</p>
<list list-type="simple">
<list-item>
<label>A)</label>
<p>If <inline-formula id="inf103">
<mml:math id="m124">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>1</sub>, then <inline-formula id="inf104">
<mml:math id="m125">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf105">
<mml:math id="m126">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf106">
<mml:math id="m127">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>58</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>58</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf107">
<mml:math id="m128">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>88</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>88</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 9, we have <inline-formula id="inf108">
<mml:math id="m129">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>612</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>B)</label>
<p>If <inline-formula id="inf109">
<mml:math id="m130">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>2</sub>, then <inline-formula id="inf110">
<mml:math id="m131">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf111">
<mml:math id="m132">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf112">
<mml:math id="m133">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf113">
<mml:math id="m134">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>67</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>67</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf114">
<mml:math id="m135">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 9, we have <inline-formula id="inf115">
<mml:math id="m136">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>562</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>C)</label>
<p>If <inline-formula id="inf116">
<mml:math id="m137">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>3</sub>, then <inline-formula id="inf117">
<mml:math id="m138">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf118">
<mml:math id="m139">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf119">
<mml:math id="m140">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>55</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>55</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf120">
<mml:math id="m141">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf121">
<mml:math id="m142">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 9, we have <inline-formula id="inf122">
<mml:math id="m143">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>558</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>d)</label>
<p>If <inline-formula id="inf123">
<mml:math id="m144">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>4</sub>, then <inline-formula id="inf124">
<mml:math id="m145">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf125">
<mml:math id="m146">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf126">
<mml:math id="m147">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf127">
<mml:math id="m148">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 9, we have <inline-formula id="inf128">
<mml:math id="m149">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>558</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
</list>
<p>Thus, we obtain<disp-formula id="equ10">
<mml:math id="m150">
<mml:mtable class="align-star" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>612</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>562</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>558</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>558</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>558</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>54</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>By employing the operator <italic>E</italic> on both sides and considering the fact that <inline-formula id="inf129">
<mml:math id="m151">
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we get<disp-formula id="e13">
<mml:math id="m152">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>558</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>54</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
<label>(13)</label>
</disp-formula>Finally, solving the recurrence relation (13), we obtain<disp-formula id="equ11">
<mml:math id="m153">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>1372</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mn>54</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>558</mml:mn>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>
<statement content-type="theorem" id="Theorem_2.5">
<label>Theorem 2.5.</label>
<p>Let <inline-formula id="inf130">
<mml:math id="m154">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> be a random cyclooctane chain of length <italic>t</italic> &#x2265; 3. Then<disp-formula id="equ12">
<mml:math id="m155">
<mml:mtable class="aligned">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>2695</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2240</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>13934</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>11760</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>22969</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>19600</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>4584</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3920</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>59</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>160</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>4118</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>11760</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>6609</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>19600</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>328</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>980</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
</statement>
</p>
<p>Proof. For <italic>t</italic> &#x3d; 3, we have <inline-formula id="inf131">
<mml:math id="m156">
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>2625</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2240</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf132">
<mml:math id="m157">
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>13934</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>11760</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf133">
<mml:math id="m158">
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>22969</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>19600</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf134">
<mml:math id="m159">
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>4584</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3920</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>. Hence, <inline-formula id="inf135">
<mml:math id="m160">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>2695</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2240</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>13934</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>11760</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>22969</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>19600</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>4584</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>980</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>. For <italic>t</italic> &#x3e; 3, there are four possibilities</p>
<p>
<list list-type="simple">
<list-item>
<label>A)</label>
<p>If <inline-formula id="inf136">
<mml:math id="m161">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>1</sub>, then <inline-formula id="inf137">
<mml:math id="m162">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf138">
<mml:math id="m163">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf139">
<mml:math id="m164">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>58</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>58</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf140">
<mml:math id="m165">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>88</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>88</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 10, we have <inline-formula id="inf141">
<mml:math id="m166">
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>59</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>160</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>B)</label>
<p>If <inline-formula id="inf142">
<mml:math id="m167">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>2</sub>, then <inline-formula id="inf143">
<mml:math id="m168">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf144">
<mml:math id="m169">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf145">
<mml:math id="m170">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf146">
<mml:math id="m171">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>67</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>67</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf147">
<mml:math id="m172">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 10, we have <inline-formula id="inf148">
<mml:math id="m173">
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>4118</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>11760</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>C)</label>
<p>If <inline-formula id="inf149">
<mml:math id="m174">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>3</sub>, then <inline-formula id="inf150">
<mml:math id="m175">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf151">
<mml:math id="m176">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf152">
<mml:math id="m177">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>55</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>55</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf153">
<mml:math id="m178">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf154">
<mml:math id="m179">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 10, we have <inline-formula id="inf155">
<mml:math id="m180">
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>6609</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>19600</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>D)</label>
<p>If <inline-formula id="inf156">
<mml:math id="m181">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>4</sub>, then <inline-formula id="inf157">
<mml:math id="m182">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf158">
<mml:math id="m183">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf159">
<mml:math id="m184">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf160">
<mml:math id="m185">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 10, we have <inline-formula id="inf161">
<mml:math id="m186">
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>328</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>980</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
</list>
</p>
<p>Thus, we obtain<disp-formula id="equ13">
<mml:math id="m187">
<mml:mtable class="align-star" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>59</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>160</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>4118</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>11760</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>6609</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>19600</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>328</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>980</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>59</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>160</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>4118</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>11760</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>6609</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>19600</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>328</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>980</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>By employing the operator <italic>E</italic> on both sides and considering the fact that <inline-formula id="inf162">
<mml:math id="m188">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we get<disp-formula id="e14">
<mml:math id="m189">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>59</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4480</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>4118</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>11760</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>6609</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>19600</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>328</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>980</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
<label>(14)</label>
</disp-formula>Finally, solving the recurrence relation (14), we obtain<disp-formula id="equ14">
<mml:math id="m190">
<mml:mtable class="align-star" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>2695</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2240</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>13934</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>11760</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>22969</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>19600</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>4584</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3920</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>59</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>160</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>4118</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>11760</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>6609</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>19600</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>328</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>980</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>
<statement content-type="theorem" id="Theorem_2.6">
<label>Theorem 2.6.</label>
<p>Let <inline-formula id="inf163">
<mml:math id="m191">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> be a random cyclooctane chain of length <italic>t</italic> &#x2265; 3. Then,<disp-formula id="equ15">
<mml:math id="m192">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>7196</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>716</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mn>3086</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>746</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mn>148</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>18</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
</statement>
</p>
<p>Proof. For <italic>t</italic> &#x3d; 3, we have <inline-formula id="inf164">
<mml:math id="m193">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>7912</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf165">
<mml:math id="m194">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>7344</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf166">
<mml:math id="m195">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>7214</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf167">
<mml:math id="m196">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>7196</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. Hence, <inline-formula id="inf168">
<mml:math id="m197">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>7912</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>7344</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>7214</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>7196</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>. For <italic>t</italic> &#x3e; 3, there are four possibilities</p>
<list list-type="simple">
<list-item>
<label>A)</label>
<p>If <inline-formula id="inf169">
<mml:math id="m198">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>1</sub>, then <inline-formula id="inf170">
<mml:math id="m199">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf171">
<mml:math id="m200">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf172">
<mml:math id="m201">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>58</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>58</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf173">
<mml:math id="m202">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>88</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>P</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>88</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 11, we have <inline-formula id="inf174">
<mml:math id="m203">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3832</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>B)</label>
<p>If <inline-formula id="inf175">
<mml:math id="m204">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>2</sub>, then <inline-formula id="inf176">
<mml:math id="m205">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf177">
<mml:math id="m206">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf178">
<mml:math id="m207">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf179">
<mml:math id="m208">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>67</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>67</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf180">
<mml:math id="m209">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 11, we have <inline-formula id="inf181">
<mml:math id="m210">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3234</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>C)</label>
<p>If <inline-formula id="inf182">
<mml:math id="m211">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>3</sub>, then <inline-formula id="inf183">
<mml:math id="m212">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf184">
<mml:math id="m213">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf185">
<mml:math id="m214">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>55</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close="">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>55</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf186">
<mml:math id="m215">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf187">
<mml:math id="m216">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 11, we have <inline-formula id="inf188">
<mml:math id="m217">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3104</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>D)</label>
<p>If <inline-formula id="inf189">
<mml:math id="m218">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>4</sub>, then <inline-formula id="inf190">
<mml:math id="m219">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf191">
<mml:math id="m220">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf192">
<mml:math id="m221">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf193">
<mml:math id="m222">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 11, we have <inline-formula id="inf194">
<mml:math id="m223">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3086</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
</list>
<p>Thus, we obtain<disp-formula id="equ16">
<mml:math id="m224">
<mml:mtable class="align-star" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3832</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3234</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3104</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3086</mml:mn>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3832</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3234</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3104</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3086</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>By employing the operator <italic>E</italic> on both sides and considering the fact that <inline-formula id="inf195">
<mml:math id="m225">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we get<disp-formula id="e15">
<mml:math id="m226">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3234</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3234</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3104</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3086</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
<label>(15)</label>
</disp-formula>Finally, solving the recurrence relation (15), we obtain<disp-formula id="equ17">
<mml:math id="m227">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>7196</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>716</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mn>3086</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>746</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mn>148</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>18</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>
<statement content-type="theorem" id="Theorem_2.7">
<label>Theorem 2.7.</label>
<p>Let <inline-formula id="inf196">
<mml:math id="m228">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> be a random cyclooctane chain of length <italic>t</italic> &#x2265; 3. Then<disp-formula id="equ18">
<mml:math id="m229">
<mml:mtable class="align-star" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>770</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>168</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>32</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>20</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>14</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>280</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>585</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>126</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>36</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>42</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>210</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>383</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>84</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>84</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>140</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>80</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>8</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>177</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>12</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>42</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>210</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="" close="]">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>83</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>16</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>140</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>14</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
</statement>
</p>
<p>Proof. For <italic>t</italic> &#x3d; 3, we have <inline-formula id="inf197">
<mml:math id="m230">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>770</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>168</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>32</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>20</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>14</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>280</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf198">
<mml:math id="m231">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>585</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>126</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>36</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>42</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>210</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf199">
<mml:math id="m232">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>383</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>84</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>84</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>140</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf200">
<mml:math id="m233">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>80</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>8</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>. Hence,</p>
<p>
<inline-formula id="inf201">
<mml:math id="m234">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>770</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>168</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>32</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>20</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>14</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>280</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>585</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>126</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>36</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>42</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>210</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>383</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>84</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>84</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>140</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>14</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>. For <italic>t</italic> &#x3e; 3 there are four possibilities</p>
<list list-type="simple">
<list-item>
<label>A)</label>
<p>If <inline-formula id="inf202">
<mml:math id="m235">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>1</sub>, then <inline-formula id="inf203">
<mml:math id="m236">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf204">
<mml:math id="m237">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf205">
<mml:math id="m238">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>58</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>58</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf206">
<mml:math id="m239">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>88</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>88</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 12, we have <inline-formula id="inf207">
<mml:math id="m240">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>B) </label>
<p>If <inline-formula id="inf208">
<mml:math id="m241">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>2</sub>, then <inline-formula id="inf209">
<mml:math id="m242">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf210">
<mml:math id="m243">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf211">
<mml:math id="m244">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf212">
<mml:math id="m245">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>67</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>67</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf213">
<mml:math id="m246">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 12, we have <inline-formula id="inf214">
<mml:math id="m247">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>177</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>12</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>42</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>210</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>C)</label>
<p>If <inline-formula id="inf215">
<mml:math id="m248">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>3</sub>, then <inline-formula id="inf216">
<mml:math id="m249">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf217">
<mml:math id="m250">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf218">
<mml:math id="m251">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>55</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>55</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf219">
<mml:math id="m252">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf220">
<mml:math id="m253">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 12, we have <inline-formula id="inf221">
<mml:math id="m254">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>83</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>16</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>140</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<label>D)</label>
<p>If <inline-formula id="inf222">
<mml:math id="m255">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> with probability <italic>p</italic>
<sub>4</sub>, then <inline-formula id="inf223">
<mml:math id="m256">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>44</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf224">
<mml:math id="m257">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>45</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf225">
<mml:math id="m258">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>57</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>, and <inline-formula id="inf226">
<mml:math id="m259">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>77</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>. The other <italic>y</italic>
<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> values remains same. Using these values in 12, we have <inline-formula id="inf227">
<mml:math id="m260">
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>14</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
</list>
<p>Thus, we obtain<disp-formula id="equ19">
<mml:math id="m261">
<mml:mtable class="align-star" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>177</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>12</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>42</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>210</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>83</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>16</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>140</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>14</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>177</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>12</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>42</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>210</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>83</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>16</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>140</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>14</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>By employing the operator <italic>E</italic> on both sides and considering the fact that <inline-formula id="inf228">
<mml:math id="m262">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we get<disp-formula id="e16">
<mml:math id="m263">
<mml:mtable class="align" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>177</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>12</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>42</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>210</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>83</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>16</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>140</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>14</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
<label>(16)</label>
</disp-formula>Finally, solving the recurrence relation (16), we obtain<disp-formula id="equ20">
<mml:math id="m264">
<mml:mtable class="align-star" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>770</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>168</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>32</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>20</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>14</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>280</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>585</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>126</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>36</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>42</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>210</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>383</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>84</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>84</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>140</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>80</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>8</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>177</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>12</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>42</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>210</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="" close="]">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>83</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>16</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>140</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>14</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>
<statement content-type="theorem" id="Theorem_2.8">
<label>Corollary 2.8.</label>
<p>
<italic>For</italic> <italic>t</italic> &#x2265; 3<italic>, we have</italic>
<list list-type="simple">
<list-item>
<label>1.</label>
<p>&#x2022; <inline-formula id="inf229">
<mml:math id="m265">
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>612</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>310</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<list list-type="simple">
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf230">
<mml:math id="m266">
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>Z</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>562</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>310</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf231">
<mml:math id="m267">
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>588</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>302</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf232">
<mml:math id="m268">
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>588</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>302</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
</list>
</list-item>
<list-item>
<label>2.</label>
<p>&#x2022; <inline-formula id="inf233">
<mml:math id="m269">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>59</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>160</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>217</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2240</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<list list-type="simple">
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf234">
<mml:math id="m270">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>Z</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>4118</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>11760</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>79</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>588</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf235">
<mml:math id="m271">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>6609</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>19600</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1571</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>9800</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf236">
<mml:math id="m272">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>328</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>90</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>81</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>490</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
</list>
</list-item>
<list-item>
<label>3.</label>
<p>&#x2022; <inline-formula id="inf237">
<mml:math id="m273">
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>3832</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3584</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<list list-type="simple">
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf238">
<mml:math id="m274">
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>Z</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>3234</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2358</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf239">
<mml:math id="m275">
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>3104</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2098</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf240">
<mml:math id="m276">
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>3086</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2062</mml:mn>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
</list>
</list-item>
<list-item>
<label>4.</label>
<p>&#x2022; <inline-formula id="inf241">
<mml:math id="m277">
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>770</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>168</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>32</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>20</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>14</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>280</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<list list-type="simple">
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf242">
<mml:math id="m278">
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>Z</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>128</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>126</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>36</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>42</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>210</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>177</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>12</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>42</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>210</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf243">
<mml:math id="m279">
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>383</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>84</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>32</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>140</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>83</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>16</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>140</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<p>&#x2022;<inline-formula id="inf244">
<mml:math id="m280">
<mml:mtext>&#x2009;</mml:mtext>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>84</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>28</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>8</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>14</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>35</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
</list>
</list-item>
</list>
</p>
</statement>
</p>
</sec>
<sec id="s3">
<title>3 A comparison between the expected values of topological indices for random cyclooctane chains</title>
<p>In this section, we give a comparison between the expected values of the considered topological indices for Random Cyclooctane Chains. In <xref ref-type="table" rid="T1">Table 1</xref>, we have calculated the expected values of the forgotten index and the second Gourava index of random cyclooctane chains for <italic>t</italic> &#x3d; 3, 4, &#x2026; , 10. The plot of the expected values of these topological indices for different values of <italic>t</italic> is depicted in <xref ref-type="fig" rid="F5">Figure 5</xref>. Observe that the expected values for the forgotten index are always less than the expected value of the second Gourava index for all <italic>t</italic> &#x2265; 3. Now, we give an explicit proof of the fact that for any <italic>t</italic> &#x2265; 3 the expected value of second Gourava index is always greater than the expected value of the forgotten index in random cyclooctane chains.</p>
<table-wrap id="T1" position="float">
<label>TABLE 1</label>
<caption>
<p>Expected values <italic>E</italic>
<sup>
<italic>R</italic>
</sup> and <inline-formula id="inf245">
<mml:math id="m281">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</caption>
<table>
<thead valign="top">
<tr>
<th align="left">
<italic>t</italic>
</th>
<th align="left">
<italic>E</italic>
<sup>
<italic>R</italic>
</sup>
</th>
<th align="left">
<inline-formula id="inf246">
<mml:math id="m282">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>
</th>
</tr>
</thead>
<tbody valign="top">
<tr>
<td align="left">3</td>
<td align="left">12.2693</td>
<td align="left">606</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">4</td>
<td align="left">16.5709</td>
<td align="left">846</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">5</td>
<td align="left">20.8725</td>
<td align="left">1086</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">6</td>
<td align="left">25.1741</td>
<td align="left">1326</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">7</td>
<td align="left">29.4757</td>
<td align="left">1566</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">8</td>
<td align="left">33.7773</td>
<td align="left">1806</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">9</td>
<td align="left">38.0789</td>
<td align="left">2046</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">10</td>
<td align="left">42.3805</td>
<td align="left">2286</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</table-wrap>
<fig id="F5" position="float">
<label>FIGURE 5</label>
<caption>
<p>Graphical comparison of <italic>E</italic>
<sup>
<italic>R</italic>
</sup> and <inline-formula id="inf247">
<mml:math id="m283">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</caption>
<graphic xlink:href="fchem-12-1388097-g005.tif"/>
</fig>
<p>
<statement content-type="theorem" id="Theorem_3.1">
<label>Theorem 3.1.</label>
<p>
<italic>Let</italic> <italic>t</italic> &#x2265; 3<italic>, then</italic> <inline-formula id="inf248">
<mml:math id="m284">
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close="">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>
</p>
</statement>
</p>
<p>Proof. For <italic>t</italic> &#x3d; 3, the result follows immediately. By applying Theorems 2.1 and 2.2, we get<disp-formula id="equ21">
<mml:math id="m285">
<mml:mtable class="align-star" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>R</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfenced open="(" close="">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>366</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>238</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>19</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>15</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>238</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>15</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>366</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>19</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mn>238</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close="">
<mml:mrow>
<mml:mn>10</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>15</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>366</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>19</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mo>&#x2235;</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Next, we give a comparison between the expected values of the topological indices based on the neighborhood degree for cyclooctane chains. The expected values of the modified neighborhood Forgotten index, the modified neighborhood second Zagreb index, the third neighborhood index, and the fourth neighborhood index are calculated and depicted in <xref ref-type="table" rid="T2">Table 2</xref> for <italic>t</italic> &#x3d; 3, 4, &#x2026; , 10. A 2D plot of these values is shown in <xref ref-type="fig" rid="F6">Figure 6</xref>. Observe that <inline-formula id="inf249">
<mml:math id="m286">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>. Now, we give explicit proof of this fact.</p>
<table-wrap id="T2" position="float">
<label>TABLE 2</label>
<caption>
<p>Expected values of <inline-formula id="inf250">
<mml:math id="m287">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf251">
<mml:math id="m288">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf252">
<mml:math id="m289">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf253">
<mml:math id="m290">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</caption>
<table>
<thead valign="top">
<tr>
<th align="left">
<italic>t</italic>
</th>
<th align="left">
<inline-formula id="inf254">
<mml:math id="m291">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>
</th>
<th align="left">
<inline-formula id="inf255">
<mml:math id="m292">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>
</th>
<th align="left">
<inline-formula id="inf256">
<mml:math id="m293">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>
</th>
<th align="left">
<inline-formula id="inf257">
<mml:math id="m294">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>
</th>
</tr>
</thead>
<tbody valign="top">
<tr>
<td align="left">3</td>
<td align="left">1.17974</td>
<td align="left">5.4420</td>
<td align="left">1383.6</td>
<td align="left">7372.4</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">4</td>
<td align="left">1.5249</td>
<td align="left">7.4638</td>
<td align="left">1395.2</td>
<td align="left">10640.8</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">5</td>
<td align="left">1.861</td>
<td align="left">9.4856</td>
<td align="left">1406.8</td>
<td align="left">13909.2</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">6</td>
<td align="left">2.2151</td>
<td align="left">11.5074</td>
<td align="left">1418.4</td>
<td align="left">17177.6</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">7</td>
<td align="left">2.5602</td>
<td align="left">13.5292</td>
<td align="left">1430</td>
<td align="left">20446</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">8</td>
<td align="left">2.9053</td>
<td align="left">15.5509</td>
<td align="left">1431.6</td>
<td align="left">23714.4</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">9</td>
<td align="left">3.2504</td>
<td align="left">17.5728</td>
<td align="left">1443.2</td>
<td align="left">26982.8</td>
</tr>
<tr>
<td align="left">10</td>
<td align="left">3.5955</td>
<td align="left">19.5946</td>
<td align="left">1454.8</td>
<td align="left">30251.2</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</table-wrap>
<fig id="F6" position="float">
<label>FIGURE 6</label>
<caption>
<p>Graphical comparison of <inline-formula id="inf258">
<mml:math id="m295">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf259">
<mml:math id="m296">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula id="inf260">
<mml:math id="m297">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf261">
<mml:math id="m298">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</caption>
<graphic xlink:href="fchem-12-1388097-g006.tif"/>
</fig>
<p>
<statement content-type="theorem" id="Theorem_3.2">
<label>Theorem 3.2.</label>
<p>
<italic>Let</italic> <italic>t</italic> &#x2265; 3<italic>, then</italic> <inline-formula id="inf262">
<mml:math id="m299">
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>
</p>
</statement>
</p>
<p>Proof. For <italic>t</italic> &#x3d; 3, the result follows immediately. By applying Theorems 2.7 and 2.5, we get<disp-formula id="equ22">
<mml:math id="m300">
<mml:mtable class="align-star" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mmultiscripts>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:none/>
<mml:mprescripts/>
<mml:none/>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mmultiscripts>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>1.7634</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>0.3688</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>1.4895</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>0.3502</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>1.7162</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>0.3372</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>1.7134</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>0.3347</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>5.4763</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1.2031</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>5.4501</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1.18486</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>7.6270</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1.17188</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>5.4269</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1.1694</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mn>1.3946</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1.1393</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1.379</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1.3787</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4.2732</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4.2652</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>6.4551</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>4.2875</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>&#x2235;</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>
<statement content-type="theorem" id="Theorem_3.3">
<label>Theorem 3.3.</label>
<p>
<italic>Let</italic> <italic>t</italic> &#x2265; 3<italic>, then</italic> <inline-formula id="inf263">
<mml:math id="m301">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>
</p>
</statement>
</p>
<p>Proof. For <italic>t</italic> &#x3d; 3, the result follows immediately. By applying Theorems 2.7 and 2.4, we get<disp-formula id="equ23">
<mml:math id="m302">
<mml:mtable class="align-star" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="">
<mml:mrow>
<mml:mn>558</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1.7634</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1.4895</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1.7162</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mfenced open="" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1.7134</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mn>54</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>1372</mml:mn>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mo>&#x2235;</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>
<statement content-type="theorem" id="Theorem_3.4">
<label>Theorem 3.4.</label>
<p>
<italic>For</italic> <italic>t</italic> &#x2265; 3<italic>, we have</italic>
<disp-formula id="equ24">
<mml:math id="m303">
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
</statement>
</p>
<p>Proof. For <italic>t</italic> &#x3d; 3, the result follows immediately. So, we get<disp-formula id="equ25">
<mml:math id="m304">
<mml:mtable class="align-star" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>F</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mn>3086</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>746</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>558</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mn>144</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>18</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>54</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mspace width="1em"/>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>7196</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>716</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1372</mml:mn>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mo>&#x2235;</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
</sec>
<sec sec-type="conclusion" id="s4">
<title>4 Conclusion</title>
<p>In this paper, we have studied the behaviour of cyclooctane chains and calculated the expected values of the neighbourhood sum of some topological indices, which are the neighbourhood forgotten index, general Randi&#x107; index, modified second Zagreb index, and third, fourth and fifth (NDe) indices of cyclooctane chains. It has been observed that the neighbourhood third (NDe) index has highest value and neighbourhood modified second Zagreb descriptor has the smallest value. In addition, the expected values of cyclooctane chains in some special cases have been computed. The results may be helpful in studying various physical/chemical properties of cyclooctane chains.</p>
</sec>
</body>
<back>
<sec sec-type="data-availability" id="s5">
<title>Data availability statement</title>
<p>The original contributions presented in the study are included in the article/Supplementary material, further inquiries can be directed to the corresponding author.</p>
</sec>
<sec id="s6">
<title>Author contributions</title>
<p>LJ: Conceptualization, Formal Analysis, Investigation, Methodology, Validation, Writing&#x2013;review and editing. SY: Conceptualization, Formal Analysis, Investigation, Methodology, Validation, Writing&#x2013;original draft. SF: Conceptualization, Formal Analysis, Investigation, Methodology, Validation, Writing&#x2013;original draft. FT: Conceptualization, Formal Analysis, Investigation, Methodology, Validation, Writing&#x2013;review and editing. AA: Conceptualization, Formal Analysis, Investigation, Methodology, Validation, Writing&#x2013;review and editing.</p>
</sec>
<sec sec-type="funding-information" id="s7">
<title>Funding</title>
<p>The author(s) declare financial support was received for the research, authorship, and/or publication of this article. This research project is supported by the Natural Science Foundation of Anhui Province Higher School (No. 2022AH051864, KJ2021A1154) and Researchers Supporting Project Number (RSP2024R401), King Saud University, Riyadh, Saudi Arabia.</p>
</sec>
<sec sec-type="COI-statement" id="s8">
<title>Conflict of interest</title>
<p>The authors declare that the research was conducted in the absence of any commercial or financial relationships that could be construed as a potential conflict of interest.</p>
</sec>
<sec sec-type="disclaimer" id="s9">
<title>Publisher&#x2019;s note</title>
<p>All claims expressed in this article are solely those of the authors and do not necessarily represent those of their affiliated organizations, or those of the publisher, the editors and the reviewers. Any product that may be evaluated in this article, or claim that may be made by its manufacturer, is not guaranteed or endorsed by the publisher.</p>
</sec>
<ref-list>
<title>References</title>
<ref id="B1">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Alamdari</surname>
<given-names>M. H.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Helliwell</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Baradarani</surname>
<given-names>M. M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Joule</surname>
<given-names>J. A.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2008</year>). <article-title>Synthesis of some cyclooctane-based pyrazines and quinoxalines</article-title>. <source>Ieice Tech. Rep. Electron Devices</source> <volume>2008</volume> (<issue>14</issue>), <fpage>166</fpage>&#x2013;<lpage>179</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.3998/ark.5550190.0009.e17</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B2">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Ali</surname>
<given-names>A.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Zhong</surname>
<given-names>L.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Gutman</surname>
<given-names>I.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2019</year>). <article-title>Harmonic index and its generalizations: extremal results and bounds</article-title>. <source>MATCH Commun. Math. Comput. Chem.</source> <volume>81</volume>, <fpage>249</fpage>&#x2013;<lpage>311</lpage>.</citation>
</ref>
<ref id="B3">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Ali</surname>
<given-names>K. A.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Hosni</surname>
<given-names>H. M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Ragab</surname>
<given-names>E. A.</given-names>
</name>
<name>
<surname>El&#x2010;Moez</surname>
<given-names>S. I. A.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2012</year>). <article-title>Synthesis and antimicrobial evaluation of some new cyclooctanones and cyclooctane-based heterocycles</article-title>. <source>Arch. Pharm. Chem. Life Sci.</source> <volume>345</volume> (<issue>3</issue>), <fpage>231</fpage>&#x2013;<lpage>239</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1002/ardp.201100186</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B4">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Banu</surname>
<given-names>I.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Manta</surname>
<given-names>C. M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Bercaru</surname>
<given-names>G.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Bozga</surname>
<given-names>G.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2015</year>). <article-title>Combustion kinetics of cyclooctane and its binary mixture with o-xylene over a Pt/<italic>&#x3b3;</italic> -alumina catalyst</article-title>. <source>Chem. Eng. Res. Des.</source> <volume>102</volume>, <fpage>399</fpage>&#x2013;<lpage>406</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.cherd.2015.07.012</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B5">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Bharadwaj</surname>
<given-names>R. K.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2000</year>). <article-title>Conformational properties of cyclooctane: a molecular dynamics simulation study</article-title>. <source>Molec Phys.</source> <volume>98</volume> (<issue>4</issue>), <fpage>211</fpage>&#x2013;<lpage>218</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1080/002689700162630</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B6">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Brunvoll</surname>
<given-names>J.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Cyvin</surname>
<given-names>S. J.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Cyvin</surname>
<given-names>B. N.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>1997</year>). <article-title>Enumeration of tree-like octagonal systems</article-title>. <source>J. Math. Chem.</source> <volume>21</volume> (<issue>2</issue>), <fpage>193</fpage>&#x2013;<lpage>196</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1023/a:1019122419384</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B7">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Das</surname>
<given-names>K. C.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Trinajstic</surname>
<given-names>N.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2010</year>). <article-title>Comparison between first geometric-arithmetic index and atom-bond connectivity index</article-title>. <source>Chem. Phys. Lett.</source> <volume>497</volume>, <fpage>149</fpage>&#x2013;<lpage>151</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.cplett.2010.07.097</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B9">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Hui</surname>
<given-names>Z.-hao</given-names>
</name>
<name>
<surname>Yousaf</surname>
<given-names>S.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Aslam</surname>
<given-names>A.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Kanwal</surname>
<given-names>S.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2023</year>). <article-title>On expected values of some degree based topological descriptors of random Phenylene chains</article-title>. <source>Mol. Phys.</source> <volume>121</volume>, <fpage>16</fpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1080/00268976.2023.2225648</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B10">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Imran</surname>
<given-names>A. S.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Raza</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Bounds</surname>
<given-names>Z.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2017</year>). <article-title>Bounds for the general sum-connectivity index of composite graphs</article-title>. <source>J. Inequalities Appl.</source> <volume>2017</volume> (<issue>2017</issue>), <fpage>76</fpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1186/s13660-017-1350-y</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B11">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Kier</surname>
<given-names>L. B.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Hall</surname>
<given-names>L. H.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Murray</surname>
<given-names>W. J.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Randi</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Molecular</surname>
<given-names>C. I.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>1975</year>). <article-title>Molecular connectivity I: relationship to nonspecific local anesthesia</article-title>. <source>J. Pharm. Sci.</source> <volume>64</volume> (<issue>Issue 12</issue>), <fpage>1971</fpage>&#x2013;<lpage>1974</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1002/jps.2600641214</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B12">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Kulli</surname>
<given-names>V. R.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2017</year>). <article-title>The Gourava indices and coindices of graphs</article-title>. <source>Ann. Pure Appl. Math.</source> <volume>14</volume> (<issue>1</issue>), <fpage>33</fpage>&#x2013;<lpage>38</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.22457/apam.v14n1a4</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B13">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Mondal</surname>
<given-names>S.</given-names>
</name>
<name>
<surname>De</surname>
<given-names>N.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Pal</surname>
<given-names>A.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2019</year>). <article-title>On some general neighborhood degree based topological indices</article-title>. <source>Int. J. Appl. Math.</source> <volume>32</volume> (<issue>6</issue>), <fpage>1037</fpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.12732/ijam.v32i6.10</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B15">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Mondal</surname>
<given-names>S.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Imran</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>De</surname>
<given-names>N.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Pal</surname>
<given-names>A.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2021</year>). <article-title>Neighborhood M-polynomial of titanium compounds</article-title>. <source>Arabian J. Chem.</source> <volume>14</volume> (<issue>8</issue>), <fpage>103244</fpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.arabjc.2021.103244</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B16">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Randic</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>1975</year>). <article-title>Characterization of molecular branching</article-title>. <source>J. Am. Chem. Soc.</source> <volume>97</volume>, <fpage>6609</fpage>&#x2013;<lpage>6615</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1021/ja00856a001</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B18">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Raza</surname>
<given-names>Z.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2021</year>). <article-title>The expected values of some indices in random phenylene chains</article-title>. <source>Eur. Phys. J. Plus</source> <volume>136</volume> (<issue>1</issue>), <fpage>91</fpage>&#x2013;<lpage>15</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1140/epjp/s13360-021-01082-y</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B19">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Raza</surname>
<given-names>Z.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2022</year>). <article-title>The harmonic and second Zagreb indices in random polyphenyl and spiro chains</article-title>. <source>Polycycl. Aromat. Compd.</source> <volume>42</volume>, <fpage>671</fpage>&#x2013;<lpage>680</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1080/10406638.2020.1749089</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B20">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Raza</surname>
<given-names>Z.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Akhter</surname>
<given-names>S.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Shang</surname>
<given-names>Y.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2023b</year>). <article-title>Expected value of first Zagreb connection index in random cyclooctatetraene chain, random polyphenyls chain, and random chain network</article-title>. <source>Front. Chem.</source> <volume>10</volume>, <fpage>1067874</fpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.3389/fchem.2022.1067874</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B21">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Raza</surname>
<given-names>Z.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Arockiaraj</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Bataineh</surname>
<given-names>M. S.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Maaran</surname>
<given-names>A.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2023a</year>). <article-title>Cyclooctane chains: mathematical expected values based on atom degree and sum-degree of Zagreb, harmonic, sum-connectivity, and Sombor descriptors</article-title>. <source>Eur. Phys. J. Special Top.</source>, <fpage>1</fpage>&#x2013;<lpage>10</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1140/epjs/s11734-023-00809-5</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B22">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Salamci</surname>
<given-names>E.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Ustabas</surname>
<given-names>R.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Coruh</surname>
<given-names>U.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Yavuz</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>V&#xe1;zquez-L&#xf3;pez</surname>
<given-names>E. M.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2006</year>). <article-title>Cyclooctane-1,2,5,6-tetrayl tetraacetate</article-title>. <source>Acta Cryst.</source> <volume>E</volume> (<issue>62</issue>), <fpage>o2401</fpage>&#x2013;<lpage>o2402</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1107/s1600536806018204</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B23">
<citation citation-type="book">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>West</surname>
<given-names>D. B.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2001</year>). <source>Introduction to graph theory</source>, <volume>2</volume>. <publisher-loc>Upper Saddle River</publisher-loc>: <publisher-name>Prentice-Hall</publisher-name>.</citation>
</ref>
<ref id="B24">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Xu</surname>
<given-names>P.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Azeem</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Izhar</surname>
<given-names>M. M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Shah</surname>
<given-names>S. M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Binyamin</surname>
<given-names>M. A.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Aslam</surname>
<given-names>A.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2020</year>). <article-title>On topological descriptors of certain metal-organic frameworks</article-title>. <source>J. Chem.</source> <volume>2020</volume>, <fpage>1</fpage>&#x2013;<lpage>12</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1155/2020/8819008</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B25">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Zhang</surname>
<given-names>X.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Kanwal</surname>
<given-names>M. T. A.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Azeem</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Jamil</surname>
<given-names>M. K.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Mukhtar</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2022</year>). <article-title>Finite vertex-based resolvability of supramolecular chain in dialkyltin</article-title>. <source>Main. Group Metal. Chem.</source> <volume>45</volume> (<issue>1</issue>), <fpage>255</fpage>&#x2013;<lpage>264</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1515/mgmc-2022-0027</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B26">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Zhang</surname>
<given-names>X.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Saleem</surname>
<given-names>U.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Waheed</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Jamil</surname>
<given-names>M. K.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Zeeshan</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2023</year>). <article-title>Comparative study of five topological invariants of supramolecular chain of different complexes of N-salicylidene-L-valine</article-title>. <source>Math. Biosci. Eng.</source> <volume>20</volume> (<issue>7</issue>), <fpage>11528</fpage>&#x2013;<lpage>11544</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.3934/mbe.2023511</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B27">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Zhang</surname>
<given-names>X.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Xinling</surname>
<given-names>W.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Shehnaz</surname>
<given-names>A.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Jamil</surname>
<given-names>M. K.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Liu</surname>
<given-names>J.-B.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Farahani</surname>
<given-names>M. R.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2018</year>). <article-title>Edge-Version atom-bond connectivity and geometric arithmetic indices of generalized bridge molecular graphs</article-title>. <source>Symmetry</source> <volume>10</volume> (<issue>12</issue>), <fpage>751</fpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.3390/sym10120751</pub-id>
</citation>
</ref>
</ref-list>
</back>
</article>