<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<!DOCTYPE article PUBLIC "-//NLM//DTD Journal Publishing DTD v2.3 20070202//EN" "journalpublishing.dtd">
<article article-type="brief-report" dtd-version="2.3" xml:lang="EN" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">
<front>
<journal-meta>
<journal-id journal-id-type="publisher-id">Front. Energy Res.</journal-id>
<journal-title>Frontiers in Energy Research</journal-title>
<abbrev-journal-title abbrev-type="pubmed">Front. Energy Res.</abbrev-journal-title>
<issn pub-type="epub">2296-598X</issn>
<publisher>
<publisher-name>Frontiers Media S.A.</publisher-name>
</publisher>
</journal-meta>
<article-meta>
<article-id pub-id-type="publisher-id">977448</article-id>
<article-id pub-id-type="doi">10.3389/fenrg.2022.977448</article-id>
<article-categories>
<subj-group subj-group-type="heading">
<subject>Energy Research</subject>
<subj-group>
<subject>Brief Research Report</subject>
</subj-group>
</subj-group>
</article-categories>
<title-group>
<article-title>A new search direction of IPM for horizontal linear complementarity problems</article-title>
<alt-title alt-title-type="left-running-head">Gong et al.</alt-title>
<alt-title alt-title-type="right-running-head">
<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://doi.org/10.3389/fenrg.2022.977448">10.3389/fenrg.2022.977448</ext-link>
</alt-title>
</title-group>
<contrib-group>
<contrib contrib-type="author" corresp="yes">
<name>
<surname>Gong</surname>
<given-names>Xiaoyu</given-names>
</name>
<xref ref-type="aff" rid="aff1">
<sup>1</sup>
</xref>
<xref ref-type="aff" rid="aff2">
<sup>2</sup>
</xref>
<xref ref-type="corresp" rid="c001">&#x2a;</xref>
<uri xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/1756526/overview"/>
</contrib>
<contrib contrib-type="author" corresp="yes">
<name>
<surname>Xi</surname>
<given-names>Lei</given-names>
</name>
<xref ref-type="aff" rid="aff2">
<sup>2</sup>
</xref>
<xref ref-type="aff" rid="aff3">
<sup>3</sup>
</xref>
<xref ref-type="corresp" rid="c001">&#x2a;</xref>
<uri xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/1140513/overview"/>
</contrib>
<contrib contrib-type="author">
<name>
<surname>Yuan</surname>
<given-names>Bo</given-names>
</name>
<xref ref-type="aff" rid="aff3">
<sup>3</sup>
</xref>
</contrib>
</contrib-group>
<aff id="aff1">
<sup>1</sup>
<institution>School of Economics and Management</institution>, <institution>China Three Gorges University</institution>, <addr-line>Yichang</addr-line>, <country>China</country>
</aff>
<aff id="aff2">
<sup>2</sup>
<institution>Yichang Key Laboratory of Information Physics Fusion Defense and Control System (Three Gorges University)</institution>, <addr-line>Yichang</addr-line>, <country>China</country>
</aff>
<aff id="aff3">
<sup>3</sup>
<institution>College of Electrical Engineering and New Energy</institution>, <institution>China Three Gorges University</institution>, <addr-line>Yichang</addr-line>, <country>China</country>
</aff>
<author-notes>
<fn fn-type="edited-by">
<p>
<bold>Edited by:</bold> <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/1256586/overview">Bin Zhou</ext-link>, Hunan University, China</p>
</fn>
<fn fn-type="edited-by">
<p>
<bold>Reviewed by:</bold> <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/1503855/overview">Yuanzheng Li</ext-link>, Huazhong University of Science and Technology, China</p>
<p>
<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/1806577/overview">Jian Zhao</ext-link>, Shanghai University of Electric Power, China</p>
<p>
<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/1137958/overview">Yingjun Wu</ext-link>, Hohai University, China</p>
</fn>
<corresp id="c001">&#x2a;Correspondence: Xiaoyu Gong, <email>39191267@qq.com&#x200a;</email>; Lei Xi, <email>xilei2014@163.com&#x200a;</email>
</corresp>
<fn fn-type="other">
<p>This article was submitted to Process and Energy Systems Engineering, a section of the journal Frontiers in Energy Research</p>
</fn>
</author-notes>
<pub-date pub-type="epub">
<day>05</day>
<month>01</month>
<year>2023</year>
</pub-date>
<pub-date pub-type="collection">
<year>2022</year>
</pub-date>
<volume>10</volume>
<elocation-id>977448</elocation-id>
<history>
<date date-type="received">
<day>24</day>
<month>06</month>
<year>2022</year>
</date>
<date date-type="accepted">
<day>18</day>
<month>07</month>
<year>2022</year>
</date>
</history>
<permissions>
<copyright-statement>Copyright &#xa9; 2023 Gong, Xi and Yuan.</copyright-statement>
<copyright-year>2023</copyright-year>
<copyright-holder>Gong, Xi and Yuan</copyright-holder>
<license xlink:href="http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">
<p>This is an open-access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (CC BY). The use, distribution or reproduction in other forums is permitted, provided the original author(s) and the copyright owner(s) are credited and that the original publication in this journal is cited, in accordance with accepted academic practice. No use, distribution or reproduction is permitted which does not comply with these terms.</p>
</license>
</permissions>
<abstract>
<p>This study presents a new search direction for the horizontal linear complementarity problem. A vector-valued function is applied to the system of <inline-formula id="inf1">
<mml:math id="m1">
<mml:mrow>
<mml:mtext>xy</mml:mtext>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, which defines the central path. Usually, the way to get the equivalent form of the central path is using the square root function. However, in our study, we substitute a new search function formed by a different identity map, which obtains the equivalent shape of the central path using the square root function. We get the new search directions from Newton&#x2019;s Method. Given this framework, we prove polynomial complexity for the Newton directions. We show that the algorithm&#x2019;s complexity is <inline-formula id="inf2">
<mml:math id="m2">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">O</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:msqrt>
<mml:mi>log</mml:mi>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x3f5;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, which is the same as the best-given algorithms for the horizontal linear complementarity problem.</p>
</abstract>
<kwd-group>
<kwd>linear complementarity</kwd>
<kwd>interior-point method</kwd>
<kwd>full-Newton step</kwd>
<kwd>complexity</kwd>
<kwd>HLCP</kwd>
</kwd-group>
</article-meta>
</front>
<body>
<sec id="s1">
<title>Introduction</title>
<p>
<xref ref-type="bibr" rid="B5">Karmarkar (1984</xref>) found the first method of the interior point algorithm, so linear programming appeared as a dynamic field of research. Soon after, the interior point algorithm was able to resolve linear programming problems and other optimal problems such as semi-definite programming problems, high-order conic programming problems, and linear and nonlinear complementarity problems.</p>
<p>Then, <xref ref-type="bibr" rid="B10">Nestrov and Nemirovskii (1994</xref>) imported a new concept of self-concordant barrier functions to define the interior point method for solving the convex programming problem. In addition, <xref ref-type="bibr" rid="B14">Vieira (2007</xref>) proposed a different interior point algorithm using the kernel function.</p>
<p>It showed that linear complementarity problems have more significant adhibition in the economic field; the most significant model is the equilibrium model of the Arrow&#x2013;Debreu market. (<xref ref-type="bibr" rid="B7">Kojima et al. (1992</xref>) proved that linear complementarity problems are equal to some models of equilibrium market, but that is not necessarily sufficient. Hence, <xref ref-type="bibr" rid="B3">Ill&#xe9;s et al. (2010</xref>) analyzed the general linear complementarity problems&#x2019; solvability.</p>
<p>Some special search directions play an important role in analyzing interior point algorithms.</p>
<p>A basic idea of primal-dual inter-point algorithms is to go through the central path to get the optimal solution. Later, <xref ref-type="bibr" rid="B11">Peng et al. (2002a</xref>) verified that the essence of Karmarkar&#x2019;s algorithm was just a special classical barrier function, which is a polynomial time algorithm. Later, <xref ref-type="bibr" rid="B12">Peng et al. (2002b</xref>) proposed a self-regular function and got the best iteration bound for a large-update algorithm for linear programming problems.</p>
<p>Moreover, <xref ref-type="bibr" rid="B12">Peng et al. (2002b</xref>) presented a new method for getting search directions called full-Newton methods; the new algorithm transformed the center equation <inline-formula id="inf3">
<mml:math id="m3">
<mml:mrow>
<mml:mtext>xs</mml:mtext>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> using a function <inline-formula id="inf4">
<mml:math id="m4">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3d5;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> and then got the new search direction from Newton&#x2019;s method.</p>
<p>Because linear complementarity problems are closely related to linear programming problems<xref ref-type="bibr" rid="B4">Karimi and Tuncel, 2020</xref>;<xref ref-type="bibr" rid="B17"> Yamashita et al., 2021</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B18">Yang, 2022</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B19">Zhang et al., 2022a</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B20">2022b</xref>), many interior-point algorithms (<xref ref-type="bibr" rid="B9">Mansouri et al., 2015</xref>) are designed from linear programming to linear complementarity problems, and all got polynomial time numerical results.</p>
<p>Furthermore, <xref ref-type="bibr" rid="B15">Wang and Bai (2009</xref>) and <xref ref-type="bibr" rid="B16">Wang and Bai (2012</xref>) proposed the second-order cone programming using a new full Nesterov&#x2013;Todd step of the primal-dual method. <xref ref-type="bibr" rid="B13">Scheunemann et al. (2021</xref>) presented a barrier term for the infeasible primal-dual interior algorithm of small strain single crystal plasticity. <xref ref-type="bibr" rid="B8">Lu et al. (2020</xref>) proposed a two-step method for horizontal linear complementarity problems, and <xref ref-type="bibr" rid="B1">Asadi et al. (2019</xref>) presented a large-step infeasible algorithm for horizontal, linear complementarity problems.</p>
<p>The above-mentioned studies almost used the square root function, which obtained a form of the central path. The basic idea of the new function is named the difference of identity. In this study, we use the new square root function to define the search direction to solve horizontal linear complementarity problems and give the complementarity problems and give the complexity of the algorithm.</p>
</sec>
<sec id="s2">
<title>The interior algorithm of HLCP</title>
<p>Two square matrices <inline-formula id="inf5">
<mml:math id="m5">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">M</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">N</mml:mi>
<mml:mo>&#x2208;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">R</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
<mml:mo>&#xd7;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> are given, and <inline-formula id="inf6">
<mml:math id="m6">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mo>&#x2208;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">R</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> is a vector. The horizontal linear complementarity problems finds a pair of <inline-formula id="inf7">
<mml:math id="m7">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2208;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">R</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, such that <disp-formula id="e1">
<mml:math id="m8">
<mml:mrow>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:mtable columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">N</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">M</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2265;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2265;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(1)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>In this section, we study the horizontal linear complementarity problems (HLCP) based on the central path method to get the search directions.</p>
<p>We assume that (<xref ref-type="disp-formula" rid="e1">1</xref>) meets the need of the following two assumptions (<xref ref-type="bibr" rid="B2">Darvay, 2003</xref>).</p>
<sec id="s2-1">
<title>Interior point condition</title>
<p>There are two vectors such that<disp-formula id="equ1">
<mml:math id="m9">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mtext>Nx</mml:mtext>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mtext>My</mml:mtext>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#x2003;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#x2003;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
</sec>
<sec id="s2-2">
<title>The monotonic property</title>
<p>There are two matrices (N, M) such that<disp-formula id="equ2">
<mml:math id="m10">
<mml:mrow>
<mml:mtext>Ny</mml:mtext>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mtext>Mx</mml:mtext>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2265;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mtext>&#x2002;</mml:mtext>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2208;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">R</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>From the above two assumptions, we can conclude that there is a solution for HLCP. We find an approximate solution by solving the following system:<disp-formula id="e2">
<mml:math id="m11">
<mml:mrow>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:mtable columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">N</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">M</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2265;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2265;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(2)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>Using the path-following interior algorithm replaces the second equation of <xref ref-type="disp-formula" rid="e2">Eq. 2</xref> with the parameterized equation <inline-formula id="inf8">
<mml:math id="m12">
<mml:mrow>
<mml:mtext>xy</mml:mtext>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>; then, we get the following system:<disp-formula id="e3">
<mml:math id="m13">
<mml:mrow>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:mtable columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">N</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">M</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(3)</label>
</disp-formula>With <inline-formula id="inf9">
<mml:math id="m14">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we can get the unique solution <inline-formula id="inf10">
<mml:math id="m15">
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#x2002;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> from system (<xref ref-type="disp-formula" rid="e3">3</xref>), and we call <inline-formula id="inf11">
<mml:math id="m16">
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#x2002;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> the <inline-formula id="inf12">
<mml:math id="m17">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>-center of horizontal linear programming problem. With <inline-formula id="inf13">
<mml:math id="m18">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> running through all positive numbers and when <inline-formula id="inf14">
<mml:math id="m19">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, the central path exists and we get a solution for the horizontal linear programming problems (<xref ref-type="bibr" rid="B6">Kheirfam and Haghighi, 2019</xref>).</p>
</sec>
</sec>
<sec id="s3">
<title>Search directions for HLCP</title>
<p>Considering the continuously differentiable <inline-formula id="inf15">
<mml:math id="m20">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3d5;</mml:mi>
<mml:mo>:</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">R</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">R</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> and the inverse function <inline-formula id="inf16">
<mml:math id="m21">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3d5;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, then (2.3) can be transformed into the following form:<disp-formula id="equ3">
<mml:math id="m22">
<mml:mrow>
<mml:mtable columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">N</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">M</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3c6;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mtext>xs</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3c6;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>Applying Newton&#x2019;s method yields new search directions. Let<disp-formula id="e4">
<mml:math id="m23">
<mml:mrow>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:mtable columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">N</mml:mi>
<mml:mo>&#x394;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">M</mml:mi>
<mml:mo>&#x394;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x03C6;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2032;</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mtext>xy</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x394;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x03C6;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2032;</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mtext>xy</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x394;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3c6;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3c6;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mtext>xy</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(4)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>Let <inline-formula id="inf17">
<mml:math id="m24">
<mml:mrow>
<mml:mtext>dx</mml:mtext>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x394;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>dy</mml:mtext>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x394;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>; then,<disp-formula id="e5">
<mml:math id="m25">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mtext>dx</mml:mtext>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mtext>dy</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x394;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x394;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(5)</label>
</disp-formula>
<disp-formula id="e6">
<mml:math id="m26">
<mml:mrow>
<mml:mtext>dxdy</mml:mtext>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x394;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x394;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(6)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>From (<xref ref-type="disp-formula" rid="e5">5</xref>) and (<xref ref-type="disp-formula" rid="e6">6</xref>), (<xref ref-type="disp-formula" rid="e4">4</xref>) can be written in the form<disp-formula id="e7">
<mml:math id="m27">
<mml:mrow>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:mtable columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mover accent="true">
<mml:mi mathvariant="normal">N</mml:mi>
<mml:mo>&#xaf;</mml:mo>
</mml:mover>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mover accent="true">
<mml:mi mathvariant="normal">M</mml:mi>
<mml:mo>&#xaf;</mml:mo>
</mml:mover>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(7)</label>
</disp-formula>At this time, <inline-formula id="inf18">
<mml:math id="m28">
<mml:mrow>
<mml:mover accent="true">
<mml:mi mathvariant="normal">M</mml:mi>
<mml:mo>&#xaf;</mml:mo>
</mml:mover>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mtext>MXV</mml:mtext>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mover accent="true">
<mml:mi mathvariant="normal">N</mml:mi>
<mml:mo>&#xaf;</mml:mo>
</mml:mover>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mtext>MYV</mml:mtext>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">V</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mtext>diag</mml:mtext>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>
</p>
<p>We get different values for the <inline-formula id="inf19">
<mml:math id="m29">
<mml:mtext>pv</mml:mtext>
</mml:math>
</inline-formula> from the <inline-formula id="inf20">
<mml:math id="m30">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x03C6;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> function and obtain the search directions.</p>
<p>Now, for <inline-formula id="inf21">
<mml:math id="m31">
<mml:mrow>
<mml:mtext>pv</mml:mtext>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x03C6;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x03C6;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x03C6;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2032;</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we choose <inline-formula id="inf22">
<mml:math id="m32">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x03C6;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>; then, from the new function, we get a new direction, and <disp-formula id="e8">
<mml:math id="m33">
<mml:mrow>
<mml:mtext>pv</mml:mtext>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2208;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x221e;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(8)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>We define <inline-formula id="inf23">
<mml:math id="m34">
<mml:mrow>
<mml:mtext>qv</mml:mtext>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mtext>dx</mml:mtext>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mtext>dy</mml:mtext>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> from<disp-formula id="equ4">
<mml:math id="m35">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mtext>XV</mml:mtext>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>dy</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mtext>YV</mml:mtext>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>dx</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mtext>dx</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mtext>dy</mml:mtext>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>and monotonicity</p>
<p>Furthermore, let <inline-formula id="inf24">
<mml:math id="m36">
<mml:mrow>
<mml:mtext>dx</mml:mtext>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mtext>pv</mml:mtext>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mtext>qv</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mtext>dy</mml:mtext>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mtext>pv</mml:mtext>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mtext>qv</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>; then,<disp-formula id="e9">
<mml:math id="m37">
<mml:mrow>
<mml:mtext>dxdxy</mml:mtext>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(9)</label>
</disp-formula>
</p>
<sec id="s3-1">
<title>Primal-dual interior-point algorithm for HLCP</title>
<p>
<list list-type="simple">
<list-item>
<p>1) Let <inline-formula id="inf25">
<mml:math id="m38">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3f5;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> be the accuracy parameter, <inline-formula id="inf26">
<mml:math id="m39">
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> the update parameter, <inline-formula id="inf27">
<mml:math id="m40">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:mn>27</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> Assume a strictly feasible point (x<sup>0</sup>, y<sup>0</sup>), s.t. <inline-formula id="inf28">
<mml:math id="m41">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3c4;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<p>2) If <inline-formula id="inf29">
<mml:math id="m42">
<mml:mrow>
<mml:mover accent="true">
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#xaf;</mml:mo>
</mml:mover>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3f5;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, then stop; otherwise, go to the next step.</p>
</list-item>
<list-item>
<p>3) According to (4), find (4) and <inline-formula id="inf30">
<mml:math id="m43">
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x394;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x394;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>. We get <inline-formula id="inf31">
<mml:math id="m44">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x394;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x394;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>. Then, turn to step 2.</p>
</list-item>
</list>
</p>
</sec>
</sec>
<sec id="s4">
<title>Convergence analyses</title>
<p>Lemma 4.1. Let (dx, dy) be a solution of (<xref ref-type="disp-formula" rid="e7">7</xref>). Then, we have <inline-formula id="inf32">
<mml:math id="m45">
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>
</p>
<p>Proof. Because the pair [N, M] is in the monotone HLCP, we conclude that<disp-formula id="equ5">
<mml:math id="m46">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mtext>dx</mml:mtext>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>dy</mml:mtext>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mtext>dx</mml:mtext>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mtext>dy</mml:mtext>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mtext>dx</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mtext>dy</mml:mtext>
<mml:mo>&#x2265;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mtext>dx</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mtext>dy</mml:mtext>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>That is, <inline-formula id="inf33">
<mml:math id="m47">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>
</p>
<p>Lemma 4.2. Let <inline-formula id="inf34">
<mml:math id="m48">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf35">
<mml:math id="m49">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>. Then, <inline-formula id="inf36">
<mml:math id="m50">
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>Proof. Let<disp-formula id="equ6">
<mml:math id="m51">
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2200;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2208;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>0,1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mo>]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#x2002;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x394;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x394;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Therefore,<disp-formula id="e10">
<mml:math id="m52">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mtext>xy</mml:mtext>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x394;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x394;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x394;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x394;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(10)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>From (<xref ref-type="disp-formula" rid="e5">5</xref>) and (<xref ref-type="disp-formula" rid="e6">6</xref>),<disp-formula id="e11">
<mml:math id="m53">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mtext>dx</mml:mtext>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mtext>dy</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mtext>dxdy</mml:mtext>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(11)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>Due (<xref ref-type="disp-formula" rid="e7">7</xref>) to (<xref ref-type="disp-formula" rid="e9">9</xref>),<disp-formula id="equ7">
<mml:math id="m54">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mtext>vp</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Furthermore, from (<xref ref-type="disp-formula" rid="e8">8</xref>),<disp-formula id="e12">
<mml:math id="m55">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mtext>vp</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(12)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>From (<xref ref-type="disp-formula" rid="e11">11</xref>), we get<disp-formula id="e13">
<mml:math id="m56">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(13)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>From <inline-formula id="inf37">
<mml:math id="m57">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we get <inline-formula id="inf38">
<mml:math id="m58">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2265;</mml:mo>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>From (<xref ref-type="disp-formula" rid="e13">13</xref>), we obtain<disp-formula id="equ8">
<mml:math id="m59">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2265;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
<disp-formula id="equ9">
<mml:math id="m60">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Using <inline-formula id="inf39">
<mml:math id="m61">
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mo>&#x2265;</mml:mo>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>Then,<disp-formula id="equ10">
<mml:math id="m62">
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x221e;</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msubsup>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x221e;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x221e;</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Therefore, we get a conclusion that, for any <inline-formula id="inf40">
<mml:math id="m63">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2208;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>0,1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mo>]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, the inequality <inline-formula id="inf41">
<mml:math id="m64">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> holds, which signifies that the signs of <inline-formula id="inf42">
<mml:math id="m65">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf43">
<mml:math id="m66">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> do not change on the interval [0,1]. Hence, <inline-formula id="inf44">
<mml:math id="m67">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> leads to <inline-formula id="inf45">
<mml:math id="m68">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>Lemma 4.3. Let <inline-formula id="inf46">
<mml:math id="m69">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi>
<mml:mo>:</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">D</mml:mi>
<mml:mo>&#x2192;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x221e;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> be a decreasing function, where <inline-formula id="inf47">
<mml:math id="m70">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">D</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>[</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x221e;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>
</p>
<p>Furthermore, let <inline-formula id="inf48">
<mml:math id="m71">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2208;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">R</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">N</mml:mi>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> such that <inline-formula id="inf49">
<mml:math id="m72">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">min</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>. Then,<disp-formula id="equ11">
<mml:math id="m73">
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x22c5;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">min</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x22c5;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Proof.<disp-formula id="equ12">
<mml:math id="m74">
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x22c5;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mstyle displaystyle="true">
<mml:mo>&#x2211;</mml:mo>
</mml:mstyle>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
<disp-formula id="equ13">
<mml:math id="m75">
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">min</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x22c5;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mstyle displaystyle="true">
<mml:mo>&#x2211;</mml:mo>
</mml:mstyle>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
<disp-formula id="equ14">
<mml:math id="m76">
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">min</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x22c5;</mml:mo>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
<disp-formula id="equ15">
<mml:math id="m77">
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x22c5;</mml:mo>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Lemma 4.4. Let <inline-formula id="inf50">
<mml:math id="m78">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>. Then,<disp-formula id="equ16">
<mml:math id="m79">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Proof. From Lemma 4.2, we get<disp-formula id="equ17">
<mml:math id="m80">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:msqrt>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Due to (4.4), as <inline-formula id="inf51">
<mml:math id="m81">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b1;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we get<disp-formula id="e14">
<mml:math id="m82">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x22c5;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(14)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>From <inline-formula id="inf52">
<mml:math id="m83">
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf53">
<mml:math id="m84">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, that is <inline-formula id="inf54">
<mml:math id="m85">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x2265;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, then<disp-formula id="e15">
<mml:math id="m86">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">min</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2265;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x221e;</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2265;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(15)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>By using the function <inline-formula id="inf55">
<mml:math id="m87">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> for any t <inline-formula id="inf56">
<mml:math id="m88">
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> 0.5, f&#x2019;(t) <inline-formula id="inf57">
<mml:math id="m89">
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> 0, <italic>f</italic> is monotone decreasing.</p>
<p>From Lemma 4.3,<disp-formula id="e16">
<mml:math id="m90">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x22c5;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2016;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2016;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(16)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>Substituting <inline-formula id="inf58">
<mml:math id="m91">
<mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> and making reductions, we get<disp-formula id="e17">
<mml:math id="m92">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(17)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>We have <inline-formula id="inf59">
<mml:math id="m93">
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> for all <inline-formula id="inf60">
<mml:math id="m94">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>Moreover, <inline-formula id="inf61">
<mml:math id="m95">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x22c5;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>Thus,<disp-formula id="e18">
<mml:math id="m96">
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">p</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">q</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(18)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>Using (<xref ref-type="disp-formula" rid="e16">16</xref>), (<xref ref-type="disp-formula" rid="e17">17</xref>), we obtain<disp-formula id="equ18">
<mml:math id="m97">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Furthermore,<disp-formula id="equ19">
<mml:math id="m98">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Let <inline-formula id="inf62">
<mml:math id="m99">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x03C6;</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x03C6;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>For <inline-formula id="inf63">
<mml:math id="m100">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> and then <inline-formula id="inf64">
<mml:math id="m101">
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we obtain<disp-formula id="e19">
<mml:math id="m102">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mo>&#x2205;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(19)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>A simple calculus yields<disp-formula id="e20">
<mml:math id="m103">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mo>&#x2205;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
<label>(20)</label>
</disp-formula>
</p>
<p>We have (<xref ref-type="disp-formula" rid="e19">19</xref>), (<xref ref-type="disp-formula" rid="e20">20</xref>).</p>
<p>We have <inline-formula id="inf65">
<mml:math id="m104">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mo>&#x2205;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mo>&#x2205;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>Lemma 4.5. Let <inline-formula id="inf66">
<mml:math id="m105">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> and suppose that the vectors x&#x2b; and y &#x2b; are obtained using a full-Newton step. Thus, <inline-formula id="inf67">
<mml:math id="m106">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x394;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x394;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>. We get <inline-formula id="inf68">
<mml:math id="m107">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>If <inline-formula id="inf69">
<mml:math id="m108">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, then we obtain <inline-formula id="inf70">
<mml:math id="m109">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>Lemma 4.6. Let<disp-formula id="equ20">
<mml:math id="m110">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2032;</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
</mml:mfrac>
</mml:msqrt>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#x2002;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>then <inline-formula id="inf71">
<mml:math id="m111">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2032;</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf72">
<mml:math id="m112">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
<mml:msqrt>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msqrt>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>If <inline-formula id="inf73">
<mml:math id="m113">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:mn>27</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
<mml:mo>&#x2265;</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we have <inline-formula id="inf74">
<mml:math id="m114">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>Proof. <inline-formula id="inf75">
<mml:math id="m115">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2032;</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> from Lemma 4.4 <inline-formula id="inf76">
<mml:math id="m116">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2032;</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>
</p>
<p>Consider <inline-formula id="inf77">
<mml:math id="m117">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">h</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">t</mml:mi>
<mml:mo>&#x3e;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>; we get<disp-formula id="equ21">
<mml:math id="m118">
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2032;</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:msup>
<mml:mo>&#x2032;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2032;</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mi mathvariant="normal">h</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>For h&#x2019;(t) &#x3c; 0, for h&#x2019;(t) &#x3c; 0, we get that h is a decreasing function.</p>
<p>Using (4.9), we have<disp-formula id="equ22">
<mml:math id="m119">
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mo>&#x2016;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mi mathvariant="normal">v</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x7c;</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
<mml:msqrt>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
<disp-formula id="equ23">
<mml:math id="m120">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
<mml:msqrt>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msqrt>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Using <inline-formula id="inf78">
<mml:math id="m121">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">g</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msqrt>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2208;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>0,1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we have<disp-formula id="equ24">
<mml:math id="m122">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">g</mml:mi>
<mml:mo>&#x2032;</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>6</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msqrt>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msqrt>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msqrt>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b3;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>This implies that g is decreasing.</p>
<p>We get <inline-formula id="inf79">
<mml:math id="m123">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:msqrt>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msqrt>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>27</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>53</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>54</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:msqrt>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>Lemma 4.7. We assume that the (<inline-formula id="inf80">
<mml:math id="m124">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>) is strictly feasible <inline-formula id="inf81">
<mml:math id="m125">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf82">
<mml:math id="m126">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b4;</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, and assume that the two vectors <inline-formula id="inf83">
<mml:math id="m127">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">k</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf84">
<mml:math id="m128">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">k</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> are obtained by the algorithm; then, after k iterations k and <inline-formula id="inf85">
<mml:math id="m129">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">k</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3f5;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>Proof. From lemma 4.5,<disp-formula id="equ25">
<mml:math id="m130">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">k</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3c;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3f5;</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Taking logarithms on two sides, then we get<disp-formula id="equ26">
<mml:math id="m131">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">k</mml:mi>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">log</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">log</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">log</mml:mi>
<mml:mo>&#x2061;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3f5;</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>From <inline-formula id="inf86">
<mml:math id="m132">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">log</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we obtain<disp-formula id="equ27">
<mml:math id="m133">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">k</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2265;</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">log</mml:mi>
<mml:mo>&#x2061;</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3f5;</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">log</mml:mi>
<mml:mo>&#x2061;</mml:mo>
<mml:mtext>&#xa0;</mml:mtext>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3f5;</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Because the self-dual embedding allows us to propose without any loss of generality that <inline-formula id="inf87">
<mml:math id="m134">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we have <inline-formula id="inf88">
<mml:math id="m135">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3bc;</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>Theorem 4.1. Suppose that x0 &#x3d; y0 &#x3d; e. If we consider the default values for <inline-formula id="inf89">
<mml:math id="m136">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3b8;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> and <inline-formula id="inf90">
<mml:math id="m137">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3c4;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, we get that the algorithm just requires no more than <inline-formula id="inf91">
<mml:math id="m138">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">O</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:msqrt>
<mml:mi mathvariant="normal">log</mml:mi>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3f5;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> interior-point iterations. The conclusion satisfies <inline-formula id="inf92">
<mml:math id="m139">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">y</mml:mi>
<mml:mo>&#x2264;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3f5;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
</sec>
<sec id="s5">
<title>Conclusion and future works</title>
<p>This study proposed a primal-dual path-following algorithm for the horizontal linear complementarity problem based on a new search direction, which differs from those available. We analyzed this algorithm and illustrated that the proposed algorithm has <inline-formula id="inf93">
<mml:math id="m140">
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">O</mml:mi>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:msqrt>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:msqrt>
<mml:mi mathvariant="normal">log</mml:mi>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3f5;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula> iteration complexity bound. Some interesting topics remain for future research. Firstly, we can extend the algorithm to linear complementarity problems over symmetric cones. Secondly, we can develop the infeasible interior point algorithm based on the method given in this study.</p>
</sec>
</body>
<back>
<sec sec-type="data-availability" id="s6">
<title>Data availability statement</title>
<p>The raw data supporting the conclusion of this article will be made available by the authors without undue reservation.</p>
</sec>
<sec id="s7">
<title>Author contributions</title>
<p>XG: algorithm analysis; LX: astringency; BY: feasibility study.</p>
</sec>
<sec sec-type="COI-statement" id="s8">
<title>Conflict of interest</title>
<p>The authors declare that the research was conducted in the absence of any commercial or financial relationships that could be construed as a potential conflict of interest.</p>
</sec>
<sec sec-type="disclaimer" id="s9">
<title>Publisher&#x2019;s note</title>
<p>All claims expressed in this article are solely those of the authors and do not necessarily represent those of their affiliated organizations or those of the publisher, the editors, and the reviewers. Any product that may be evaluated in this article, or claim that may be made by its manufacturer, is not guaranteed or endorsed by the publisher.</p>
</sec>
<ref-list>
<title>References</title>
<ref id="B1">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Asadi</surname>
<given-names>S.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Mansouri</surname>
<given-names>H.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Zangiabadi</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Mahdavi-Amiri</surname>
<given-names>N.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2019</year>). <article-title>Large-Neighborhood infeasible predictor&#x2013;corrector algorithm for horizontal linear complementarity problems over cartesian product of symmetric cones</article-title>. <source>J. Optim. Theory Appl.</source> <volume>180</volume> (<issue>11</issue>), <fpage>811</fpage>&#x2013;<lpage>829</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1007/s10957-018-1402-6</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B2">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Darvay</surname>
<given-names>Zs.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2003</year>). <article-title>New interior point algorithms in linear programming</article-title>. <source>Adv. Model. Optim.</source> <volume>5</volume> (<issue>1</issue>), <fpage>51</fpage>&#x2013;<lpage>92</lpage>.</citation>
</ref>
<ref id="B3">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Ill&#xe9;s</surname>
<given-names>T.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Nagy</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Terlaky</surname>
<given-names>T.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2010</year>). <article-title>A polynomial path-following interior point algorithm for general linear complementarity problems</article-title>. <source>J. Glob. Optim.</source> <volume>47</volume> (<issue>3</issue>), <fpage>329</fpage>&#x2013;<lpage>342</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1007/s10898-008-9348-0</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B4">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Karimi</surname>
<given-names>M</given-names>
</name>
<name>
<surname>Tuncel</surname>
<given-names>L.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2020</year>). <article-title>Primal-dual interior-point methods for domain-driven formulations</article-title>. <source>Math. Operations Res.</source> <volume>45</volume> (<issue>2</issue>), <fpage>591</fpage>&#x2013;<lpage>621</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1287/moor.2019.1003</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B5">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Karmarkar</surname>
<given-names>N.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>1984</year>). <article-title>A new polynomial-time algorithm for linear programming</article-title>. <source>Combinatorica</source> <volume>4</volume> (<issue>4</issue>), <fpage>373</fpage>&#x2013;<lpage>395</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1007/bf02579150</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B6">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Kheirfam</surname>
<given-names>B.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Haghighi</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2019</year>). <article-title>A wide neighborhood interior-point algorithm for linear optimization based on a specific kernel function</article-title>. <source>Period. Math. hung.</source> <volume>79</volume> (<issue>1</issue>), <fpage>94</fpage>&#x2013;<lpage>105</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1007/s10998-018-00271-0</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B7">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Kojima</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Megiddo</surname>
<given-names>N.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Ye</surname>
<given-names>Y.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>1992</year>). <article-title>An interior point potential reduction algorithm for the linear complementarity problem</article-title>. <source>Math. Program.</source> <volume>54</volume> (<issue>1&#x2013;3</issue>), <fpage>267</fpage>&#x2013;<lpage>279</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1007/bf01586054</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B8">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Lu</surname>
<given-names>J.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Wang</surname>
<given-names>X.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Wang</surname>
<given-names>X.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2020</year>). <article-title>Two - step modulus - based matrix splitting iteration method for horizontal linear complementarity problems</article-title>. <source>Filomat</source> <volume>34</volume> (<issue>4</issue>), <fpage>2171</fpage>&#x2013;<lpage>2184</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.2298/fil2007171j</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B9">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Mansouri</surname>
<given-names>H.</given-names>
</name>
<name>
<surname>zangiabadi</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
<name>
<surname>arzani</surname>
<given-names>M.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2015</year>). <article-title>A modified infeasible-interior-point Algorithm for linear optimization problems</article-title>. <source>J. Optim. Theory Appl.</source> <volume>3</volume> (<issue>1</issue>), <fpage>605</fpage>&#x2013;<lpage>618</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1007/s10957-015-0719-7</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B10">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Nestrov</surname>
<given-names>Y.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Nemirovskii</surname>
<given-names>A.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>1994</year>). <article-title>Interior point polynomial methods in convex programming</article-title>. <source>Theory Algorithm</source> <volume>13</volume>, <fpage>31</fpage>&#x2013;<lpage>37</lpage>.</citation>
</ref>
<ref id="B11">
<citation citation-type="book">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Peng</surname>
<given-names>J.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Roos</surname>
<given-names>C.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Terlaky</surname>
<given-names>T.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2002a</year>). <source>Self-regular functions: A new paradigm for primal-dual interior-point methods</source>. <publisher-loc>Houston</publisher-loc>: <publisher-name>University of Houston</publisher-name>.</citation>
</ref>
<ref id="B12">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Peng</surname>
<given-names>J.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Roos</surname>
<given-names>C.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Terlaky</surname>
<given-names>T.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2002b</year>). <article-title>Self-regular functions and new search directions for linear and semidefinite optimization</article-title>. <source>Math. Program.</source> <volume>93</volume>, <fpage>129</fpage>&#x2013;<lpage>171</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1007/s101070200296</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B13">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Scheunemann</surname>
<given-names>L.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Nigro</surname>
<given-names>P. S. B.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Schroder</surname>
<given-names>J.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2021</year>). <article-title>Numerical treatment of small strain single crystal plasticity based on the infeasible primal-dual interior point method</article-title>. <source>Int. J. Solids Struct.</source> <volume>232</volume> (<issue>8</issue>), <fpage>111149</fpage>&#x2013;<lpage>149</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.ijsolstr.2021.111149</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B14">
<citation citation-type="book">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Vieira</surname>
<given-names>M. V.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2007</year>). <source>Jordan algebraic approach to symmetric optimization</source>. <comment>Ph.D. thesis</comment>. <publisher-name>Universidade Nova de Lisboa</publisher-name>.</citation>
</ref>
<ref id="B15">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Wang</surname>
<given-names>G. Q.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Bai</surname>
<given-names>Y. Q.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2009</year>). <article-title>A new primal-dual path following interior &#x2013; point algorithm for semidefinite optimization</article-title>. <source>J. Math. Anal. Appl.</source> <volume>353</volume> (<issue>1</issue>), <fpage>339</fpage>&#x2013;<lpage>349</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.jmaa.2008.12.016</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B16">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Wang</surname>
<given-names>G. Q.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Bai</surname>
<given-names>Y. Q.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2012</year>). <article-title>A new full nesterov&#x2013;todd step primal&#x2013;dual path-following interior-point Algorithm for symmetric optimization</article-title>. <source>J. Optim. Theory Appl.</source> <volume>154</volume> (<issue>3</issue>), <fpage>966</fpage>&#x2013;<lpage>985</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1007/s10957-012-0013-x</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B17">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Yamashita</surname>
<given-names>M</given-names>
</name>
<name>
<surname>Iida</surname>
<given-names>E</given-names>
</name>
<name>
<surname>Yang</surname>
<given-names>Y. G.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2021</year>). <article-title>An infeasible interior-point arc-search algorithm for nonlinear constrained optimization</article-title>. <source>Numer. Algorithms</source> <volume>89</volume> (<issue>1</issue>), <fpage>249</fpage>&#x2013;<lpage>275</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1007/s11075-021-01113-w</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B18">
<citation citation-type="book">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Yang</surname>
<given-names>Y. G.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2022</year>). <source>A polynomial time infeasible interior-point arc-search algorithm for convex optimization</source>. <publisher-name>Goddard Space Flight Center, NASA</publisher-name>.</citation>
</ref>
<ref id="B19">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Zhang</surname>
<given-names>K.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Zhou</surname>
<given-names>B.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Siu</surname>
<given-names>W.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Li</surname>
<given-names>C.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Chung</surname>
<given-names>C.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Voropai</surname>
<given-names>N.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2022a</year>). <article-title>Optimal coordinated control of multi-renewable-to-hydrogen production system for hydrogen fueling stations</article-title>. <source>IEEE Trans. Ind. Appl.</source> <volume>58</volume> (<issue>2</issue>), <fpage>2728</fpage>&#x2013;<lpage>2739</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1109/tia.2021.3093841</pub-id>
</citation>
</ref>
<ref id="B20">
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Zhang</surname>
<given-names>K</given-names>
</name>
<name>
<surname>Zhou</surname>
<given-names>B.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Chung</surname>
<given-names>C.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Bu</surname>
<given-names>S.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Wang</surname>
<given-names>Q.</given-names>
</name>
<name>
<surname>Voropai</surname>
<given-names>N.</given-names>
</name>
</person-group> (<year>2022b</year>). <article-title>A coordinated multi-energy trading framework for strategic hydrogen provider in electricity and hydrogen markets</article-title>. <source>IEEE Trans. Smart Grid</source>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1109/TSG.2022.3154611</pub-id>
</citation>
</ref>
</ref-list>
</back>
</article>