<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<!DOCTYPE article PUBLIC "-//NLM//DTD Journal Publishing DTD v2.3 20070202//EN" "journalpublishing.dtd">
<article article-type="brief-report" dtd-version="2.3" xml:lang="EN" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">
<front>
<journal-meta>
<journal-id journal-id-type="publisher-id">Front. Phys.</journal-id>
<journal-title>Frontiers in Physics</journal-title>
<abbrev-journal-title abbrev-type="pubmed">Front. Phys.</abbrev-journal-title>
<issn pub-type="epub">2296-424X</issn>
<publisher>
<publisher-name>Frontiers Media S.A.</publisher-name>
</publisher>
</journal-meta>
<article-meta>
<article-id pub-id-type="publisher-id">896886</article-id>
<article-id pub-id-type="doi">10.3389/fphy.2022.896886</article-id>
<article-categories>
<subj-group subj-group-type="heading">
<subject>Physics</subject>
<subj-group>
<subject>Brief Research Report</subject>
</subj-group>
</subj-group>
</article-categories>
<title-group>
<article-title>A Note on Resistance Distances of Graphs</article-title>
<alt-title alt-title-type="left-running-head">Sun and Yang</alt-title>
<alt-title alt-title-type="right-running-head">On Resistance Distances of Graphs</alt-title>
</title-group>
<contrib-group>
<contrib contrib-type="author">
<name>
<surname>Sun</surname>
<given-names>Wensheng</given-names>
</name>
<uri xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/1722344/overview"/>
</contrib>
<contrib contrib-type="author" corresp="yes">
<name>
<surname>Yang</surname>
<given-names>Yujun</given-names>
</name>
<xref ref-type="corresp" rid="c001">&#x2a;</xref>
<uri xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/907560/overview"/>
</contrib>
</contrib-group>
<aff>
<institution>School of Mathematics and Information Sciences</institution>, <institution>Yantai University</institution>, <addr-line>Yantai</addr-line>, <country>China</country>
</aff>
<author-notes>
<fn fn-type="edited-by">
<p>
<bold>Edited by:</bold> <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/940113/overview">Yongxiang Xia</ext-link>, Hangzhou Dianzi University, China</p>
</fn>
<fn fn-type="edited-by">
<p>
<bold>Reviewed by:</bold> <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/848425/overview">Jia-Bao Liu</ext-link>, Anhui Jianzhu University, China</p>
<p>
<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://loop.frontiersin.org/people/1730192/overview">Audace A. V. Dossou-Olory</ext-link>, Universit&#xe9; d&#x27;Abomey-Calavi, Benin</p>
</fn>
<corresp id="c001">&#x2a;Correspondence: Yujun Yang, <email>yangyj@yahoo.com</email>
</corresp>
<fn fn-type="other">
<p>This article was submitted to Social Physics, a section of the journal Frontiers in Physics</p>
</fn>
</author-notes>
<pub-date pub-type="epub">
<day>11</day>
<month>04</month>
<year>2022</year>
</pub-date>
<pub-date pub-type="collection">
<year>2022</year>
</pub-date>
<volume>10</volume>
<elocation-id>896886</elocation-id>
<history>
<date date-type="received">
<day>15</day>
<month>03</month>
<year>2022</year>
</date>
<date date-type="accepted">
<day>31</day>
<month>03</month>
<year>2022</year>
</date>
</history>
<permissions>
<copyright-statement>Copyright &#xa9; 2022 Sun and Yang.</copyright-statement>
<copyright-year>2022</copyright-year>
<copyright-holder>Sun and Yang</copyright-holder>
<license xlink:href="http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">
<p>This is an open-access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (CC BY). The use, distribution or reproduction in other forums is permitted, provided the original author(s) and the copyright owner(s) are credited and that the original publication in this journal is cited, in accordance with accepted academic practice. No use, distribution or reproduction is permitted which does not comply with these terms.</p>
</license>
</permissions>
<abstract>
<p>Let <italic>G</italic> be a connected graph with vertex set <italic>V</italic>(<italic>G</italic>). The resistance distance between any two vertices <italic>u</italic>, <italic>v</italic> &#x2208; <italic>V</italic>(<italic>G</italic>) is the net effective resistance between them in the electric network constructed from <italic>G</italic> by replacing each edge with a unit resistor. Let <italic>S</italic> &#x2282; <italic>V</italic>(<italic>G</italic>) be a set of vertices such that all the vertices in <italic>S</italic> have the same neighborhood in <italic>G</italic> &#x2212; <italic>S</italic>, and let <italic>G</italic>[<italic>S</italic>] be the subgraph induced by <italic>S</italic>. In this note, by the {1}-inverse of the Laplacian matrix of <italic>G</italic>, formula for resistance distances between vertices in <italic>S</italic> is obtained. It turns out that resistance distances between vertices in <italic>S</italic> could be given in terms of elements in the inverse matrix of an auxiliary matrix of the Laplacian matrix of <italic>G</italic>[<italic>S</italic>], which derives the reduction principle obtained in [J. Phys. A: Math. Theor. 41 (2008) 445203] by algebraic method.</p>
</abstract>
<kwd-group>
<kwd>resistance distance</kwd>
<kwd>Laplacian matrix</kwd>
<kwd>{1}-inverse</kwd>
<kwd>moore-penrose inverse</kwd>
<kwd>reduction principle</kwd>
</kwd-group>
<contract-sponsor id="cn001">National Natural Science Foundation of China<named-content content-type="fundref-id">10.13039/501100001809</named-content>
</contract-sponsor>
<contract-sponsor id="cn002">Natural Science Foundation of Shandong Province<named-content content-type="fundref-id">10.13039/501100007129</named-content>
</contract-sponsor>
</article-meta>
</front>
<body>
<sec id="s1">
<title>1 Introduction</title>
<p>The novel concept of resistance distance was introduced by Klein and Randi&#x107; [<xref ref-type="bibr" rid="B8">8</xref>] in 1993. For a connected graph <italic>G</italic> with vertex set <italic>V</italic>(<italic>G</italic>) &#x3d; {1, 2, &#x2026;, <italic>n</italic>}, the <italic>resistance distance</italic> between <italic>u</italic>, <italic>v</italic> &#x2208; <italic>V</italic>(<italic>G</italic>), denoted by &#x3a9;<sub>
<italic>G</italic>
</sub> (<italic>u</italic>, <italic>v</italic>), is defined to be the effective resistance between <italic>u</italic> and <italic>v</italic> in the corresponding electric network obtained from <italic>G</italic> by replacing each edge with a unit resistor. Since resistance distance is an intrinsic graph metric and an important component of circuit theory, with potential applications in chemistry, it has been extensively studied in mathematics, physics, and chemistry. For more information, we refer the readers to recent papers [<xref ref-type="bibr" rid="B2">2</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="B4">4</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="B6">6</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="B7">7</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="B10">10</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="B11">11</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="B15">15</xref>] and references therein.</p>
<p>Let <italic>G</italic> be a connected graph of order <italic>n</italic>. For any set of vertices <italic>U</italic> &#x2282; <italic>V</italic>(<italic>G</italic>), we use <italic>G</italic> [<italic>U</italic>] to denote the subgraph induced by <italic>U</italic>, and <italic>G</italic> &#x2212; <italic>U</italic> to denote the subgraph obtained from <italic>G</italic> by removing all the vertices in <italic>U</italic> as well as all the edges incident to vertices of <italic>U</italic>. The <italic>adjacency matrix</italic> <italic>A</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub> of <italic>G</italic> is an <italic>n</italic> &#xd7; <italic>n</italic> matrix such that the (<italic>i</italic>, <italic>j</italic>)-th element of <italic>A</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub> is equal to 1 if vertices <italic>i</italic> and <italic>j</italic> are adjacent and 0 otherwise. The <italic>Laplacian matrix</italic> of <italic>G</italic> is <italic>L</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub> &#x3d; <italic>D</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub> &#x2212; <italic>A</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub>, where <italic>D</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub> is the diagonal matrix of vertex degrees of <italic>G</italic>. Clearly, <italic>L</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub> is real symmetric and singular.</p>
<p>Let <italic>M</italic> be an <italic>n</italic> &#xd7; <italic>m</italic> real matrix. An <italic>m</italic> &#xd7; <italic>n</italic> real matrix <italic>X</italic> is called a {1}-inverse of <italic>M</italic> and denoted by <italic>M</italic>
<sup>(1)</sup>, if <italic>X</italic> satisfies the following equation:<disp-formula id="equ1">
<mml:math id="m1">
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>If <italic>M</italic> is singular, then it has infinite {1}-inverses. It is well known that resistance distances in a connected graph <italic>G</italic> can be obtained from any {1}-inverse of <italic>L</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub> (see [<xref ref-type="bibr" rid="B1">1</xref>]). So far, there are many well-established results on this inverse. For example, in 2014, Bu <italic>et al</italic> [<xref ref-type="bibr" rid="B4">4</xref>] obtained the {1}-inverse of the Laplacian matrix for a class of connected graphs, and investigated resistance distances in subdivision-vertex join and subdivision-edge join of graphs. Then in 2015, an exact expression for the {1}-inverse of the Laplacian matrix of connected graphs was obtained by Sun <italic>et al.</italic> [<xref ref-type="bibr" rid="B13">13</xref>]. After that, Liu <italic>et al.</italic> [<xref ref-type="bibr" rid="B9">9</xref>] obtained the {1}-inverses for the Laplacian matrix of subdivision-vertex and subdivision-edge coronae networks. Recently, Cao <italic>et al.</italic> [<xref ref-type="bibr" rid="B5">5</xref>] also characterised the {1}-inverses for the Laplacian of corona and neighborhood corona networks. Sardar <italic>et al.</italic> [<xref ref-type="bibr" rid="B12">12</xref>] determined resistance distances of some classes of rooted product graphs via the Laplacian {1}-inverses method.</p>
<p>In this paper, some results on the {1}-inverses for Laplacian matrices of graphs with given special properties are established. As an application, for any given vertex set <italic>S</italic> &#x2282; <italic>V</italic>(<italic>G</italic>) such that all the vertices in <italic>S</italic> have the same neighborhood <italic>N</italic> in <italic>G</italic> &#x2212; <italic>S</italic>, explicit formula for resistance distances between vertices in <italic>S</italic> is obtained. It turns out that resistance distances between vertices in <italic>S</italic> could be given in terms of elements in the inverse matrix of an auxiliary matrix of the Laplacian matrix of <italic>G</italic>[<italic>S</italic>], which derives the reduction principle obtained in [J. Phys. A: Math. Theor. 41 (2008) 445203] by algebraic method.</p>
</sec>
<sec id="s2">
<title>2 Preliminary Results</title>
<p>In this section, we present some preliminary results. We first introduce the concept of group inverse and Moore-Penrose inverse of a matrix.</p>
<p>
<statement content-type="definition" id="Definition_2_1">
<label>Definition 2.1</label>
<p>For a square matrix <italic>X</italic>, the <italic>group inverse</italic> of <italic>X</italic>, denoted by <italic>X</italic>
<sup>
<italic>&#x23;</italic>
</sup>, is the unique matrix <italic>H</italic> that satisfies matrix equations:<disp-formula id="equ2">
<mml:math id="m2">
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mi>H</mml:mi>
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mi>H</mml:mi>
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mi>H</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>H</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mi>H</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>H</mml:mi>
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement content-type="definition" id="Definition_2_2">
<label>Definition 2.2</label>
<p>Let <italic>M</italic> be an <italic>n</italic> &#xd7; <italic>m</italic> matrix. An <italic>m</italic> &#xd7; <italic>n</italic> matrix <italic>X</italic> is called the <italic>Moore-Penrose inverse</italic> of <italic>M</italic>, if <italic>X</italic> satisfies the following conditions:<disp-formula id="equ3">
<mml:math id="m3">
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>H</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:mspace width="0.3333em"/>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>H</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>where <italic>X</italic>
<sup>
<italic>H</italic>
</sup> represents the conjugate transpose of the matrix <italic>X</italic>.</p>
<p>If <italic>M</italic> is real symmetric, then there exists a unique <italic>M</italic>
<sup>
<italic>&#x23;</italic>
</sup> and <italic>M</italic>
<sup>
<italic>&#x23;</italic>
</sup> is the symmetric {1}-inverse of <italic>M</italic>. In particular, <italic>M</italic>
<sup>
<italic>&#x23;</italic>
</sup> is equal to the Moore-Penrose inverse of <italic>M</italic> because <italic>M</italic> is symmetric [<xref ref-type="bibr" rid="B3">3</xref>].</p>
<p>Let (<italic>M</italic>)<sub>
<italic>ij</italic>
</sub> denote the (<italic>i</italic>, <italic>j</italic>)-entry of <italic>M</italic>. It is well known that resistance distances in a connected graph <italic>G</italic> can be obtained from any {1}-inverse of <italic>L</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub> according to the following lemma.</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement content-type="lemma" id="Lemma_2_3">
<label>Lemma 2.3</label>
<p>
<xref ref-type="bibr" rid="B3">
<italic>[3]</italic>
</xref> <italic>Let</italic> <italic>G</italic> <italic>be a connected graph. Then for vertices</italic> <italic>i</italic> <italic>and</italic> <italic>j</italic>
<italic>,</italic>
<disp-formula id="equ4">
<mml:math id="m4">
<mml:mtable class="align-star" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Let <bold>0</bold> and <bold>e</bold> be all-zero and all-one column vectors, respectively. Let <italic>J</italic>
<sub>
<italic>n</italic>&#xd7;<italic>m</italic>
</sub> be the <italic>n</italic> &#xd7; <italic>m</italic> all-one matrix. The following result is due to Sun et al. [<xref ref-type="bibr" rid="B13">13</xref>] which characterizes the {1}-inverse of the Laplacian matrix.</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement content-type="lemma" id="Lemma_2_4">
<label>Lemma 2.4</label>
<p>
<xref ref-type="bibr" rid="B13">
<italic>[13]</italic>
</xref> <italic>Let</italic> <inline-formula id="inf1">
<mml:math id="m5">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mtable class="matrix">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:math>
</inline-formula> <italic>be the Laplacian matrix of a connected graph. If</italic> <italic>L</italic>
<sub>1</sub> <italic>is nonsingular, then</italic> <inline-formula id="inf2">
<mml:math id="m6">
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mtable class="matrix">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:math>
</inline-formula> <italic>is a symmetric</italic> {1}<italic>-inverse of</italic> <italic>L</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub>
<italic>, where</italic> <inline-formula id="inf3">
<mml:math id="m7">
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>
<italic>.</italic>
</p>
<p>In particular, if each column vector of <inline-formula id="inf4">
<mml:math id="m8">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> is &#x2212; <bold>e</bold> or <bold>0</bold>, then <italic>X</italic> can be further simplified. For convenience, in the rest of this section (see Lemmas 2.5, 2.6, 2.7), we always assume that <inline-formula id="inf5">
<mml:math id="m9">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mtable class="matrix">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:math>
</inline-formula>, with the property that <italic>L</italic>
<sub>1</sub> is nonsingular, and each column vector of <inline-formula id="inf6">
<mml:math id="m10">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula> is &#x2212; <bold>e</bold> or <bold>0</bold>.</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement content-type="lemma" id="Lemma_2_5">
<label>Lemma 2.5</label>
<p>
<xref ref-type="bibr" rid="B4">
<italic>[4]</italic>
</xref> <italic>Let</italic> <italic>L</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub> <italic>be defined as above. Then</italic> <inline-formula id="inf7">
<mml:math id="m11">
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mtable class="matrix">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:math>
</inline-formula> <italic>is a symmetric</italic> {1}<italic>-inverse of</italic> <italic>L</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub>
<italic>, where</italic> <inline-formula id="inf8">
<mml:math id="m12">
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>
<italic>.</italic>
</p>
<p>According to Lemma 2.4, we could get the following results.</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement content-type="lemma" id="Lemma_2_6">
<label>Lemma 2.6</label>
<p>
<italic>Let</italic> <italic>L</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub> <italic>be defined as above. If each row of</italic> <italic>L</italic>
<sub>1</sub> <italic>sums to</italic> <italic>k</italic>
<italic>, then each column vector of</italic> <inline-formula id="inf9">
<mml:math id="m13">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula> <italic>is proportional to the all-one vector, where</italic> <inline-formula id="inf10">
<mml:math id="m14">
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>
<italic>.</italic>
</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement content-type="proof" id="uProof_1">
<label>Proof</label>
<p>Suppose that the number of columns of <italic>L</italic>
<sub>2</sub> is <italic>n</italic>
<sub>2</sub> and let <inline-formula id="inf11">
<mml:math id="m15">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mtable class="matrix">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="bold">r</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="bold">r</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:mo>&#x2026;</mml:mo>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="bold">r</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:math>
</inline-formula> with <bold>r</bold>
<sub>
<italic>i</italic>
</sub> being its <italic>i</italic>-th column vector, <italic>i</italic> &#x3d; 1, 2, &#x2026;, <italic>n</italic>
<sub>2</sub>. First we show that for any <bold>r</bold>
<sub>
<italic>i</italic>
</sub>, all the elements of <inline-formula id="inf12">
<mml:math id="m16">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="bold">r</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> are the same. If <bold>r</bold>
<sub>
<italic>i</italic>
</sub> &#x3d; <bold>0</bold>, then the assertion holds since <italic>L</italic>
<sub>1</sub>
<bold>r</bold>
<sub>
<italic>i</italic>
</sub> &#x3d; <bold>0</bold>. Otherwise, <bold>r</bold>
<sub>
<italic>i</italic>
</sub> &#x3d; &#x2212;<bold>e</bold>. Since <italic>L</italic>
<sub>1</sub> is nonsingular with each row sum being <italic>k</italic>, it follows that each row of <italic>L</italic>
<sup>&#x2212;1</sup>
<sub>1</sub> sums to <inline-formula id="inf13">
<mml:math id="m17">
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
</inline-formula>. Thus <inline-formula id="inf14">
<mml:math id="m18">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="bold">r</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold">e</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="bold">e</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, which also implies that all the elements of <inline-formula id="inf15">
<mml:math id="m19">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="bold">r</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> are the same. Hence, each column of <inline-formula id="inf16">
<mml:math id="m20">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> is proportional to the all-one vector, that is, all the row vectors of <inline-formula id="inf17">
<mml:math id="m21">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> are the same. It thus follows that each column of <inline-formula id="inf18">
<mml:math id="m22">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula> is proportional to the all-one vector, i.e. all the elements in any given column of <inline-formula id="inf19">
<mml:math id="m23">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula> are the same. &#x25a1;</p>
<p>According to Lemma 2.6, we have the following result.</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement content-type="lemma" id="Lemma_2_7">
<label>Lemma 2.7</label>
<p>
<italic>Let</italic> <italic>L</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub> <italic>be defined as above. If each row of</italic> <italic>L</italic>
<sub>1</sub> <italic>sums to</italic> <italic>k</italic>
<italic>, then there exists a real number</italic> <italic>&#x3be;</italic> <italic>such that</italic> <inline-formula id="inf20">
<mml:math id="m24">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>J</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#xd7;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>
<italic>, where</italic> <inline-formula id="inf21">
<mml:math id="m25">
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>
<italic>.</italic>
</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement content-type="proof" id="uProof_2">
<label>Proof</label>
<p>Let <inline-formula id="inf22">
<mml:math id="m26">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula>. According to the argument in the proof of Lemma 2.6, all the row vectors in <italic>M</italic>
<sub>1</sub> are the same. On the other hand, since <italic>L</italic>
<sub>1</sub> is real symmetric, it follows that<disp-formula id="equ5">
<mml:math id="m27">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Let <inline-formula id="inf23">
<mml:math id="m28">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:math>
</inline-formula>. Then all the column vectors in <italic>M</italic>
<sub>2</sub> are the same since all the row vectors in <inline-formula id="inf24">
<mml:math id="m29">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> are the same. Thus, we conclude that there exists a real number <italic>&#x3be;</italic> such that<disp-formula id="equ6">
<mml:math id="m30">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>J</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#xd7;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>This completes the proof. &#x25a1;</p>
</statement>
</p>
</sec>
<sec id="s3">
<title>3 Main Results</title>
<p>In this section, we consider resistance distances between vertices in a specific subset <italic>S</italic> of <italic>V</italic>(<italic>G</italic>). Let <italic>S</italic> &#x2282; <italic>V</italic>(<italic>G</italic>) such that all the vertices in <italic>S</italic> have the same neighborhood <italic>N</italic> in <italic>G</italic> &#x2212; <italic>S</italic>. In the following, we give explicit formula for resistance distances between vertices in <italic>S</italic>. For simplicity, we use <italic>L</italic>
<sub>
<italic>S</italic>
</sub> to denote the Laplacian matrix of the subgraph induced by <italic>S</italic>. Suppose that the cardinalities of <italic>S</italic> and <italic>N</italic> are <italic>n</italic>
<sub>1</sub> and <italic>k</italic>, respectively. Then the Laplacian matrix of <italic>G</italic> can be written as follows.<disp-formula id="equ7">
<mml:math id="m31">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mtable class="matrix">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>I</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>where <inline-formula id="inf25">
<mml:math id="m32">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>I</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> is the identity matrix of order <italic>n</italic>
<sub>1</sub>.</p>
<p>Now we are ready to give formula for resistance distances between vertices in <italic>S</italic>.</p>
<p>
<statement content-type="theorem" id="Theorem_3_1">
<label>Theorem 3.1</label>
<p>
<italic>Let</italic> <italic>S</italic> &#x2282; <italic>V</italic>(<italic>G</italic>) <italic>such that all the vertices in</italic> <italic>S</italic> <italic>have the same neighborhood</italic> <italic>N</italic> <italic>in</italic> <italic>G</italic> &#x2212; <italic>S</italic>
<italic>. Then for</italic> <italic>i</italic>, <italic>j</italic> &#x2208; <italic>S</italic>
<italic>, we have</italic>
<disp-formula id="equ8">
<mml:math id="m33">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
<italic>where</italic> <inline-formula id="inf26">
<mml:math id="m34">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>I</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>
<italic>.</italic>
</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement content-type="proof" id="uProof_3">
<label>Proof</label>
<p>Let <inline-formula id="inf27">
<mml:math id="m35">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>I</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>. Clearly, <italic>L</italic>
<sub>1</sub> is nonsingular, and each row of <italic>L</italic>
<sub>1</sub> sums to <italic>k</italic> and each column vector of <italic>L</italic>
<sub>2</sub> is &#x2212; <bold>e</bold> or <bold>0</bold>. Then by Lemma 2.7, there exists a real number <italic>&#x3be;</italic> such that <inline-formula id="inf28">
<mml:math id="m36">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>J</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#xd7;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>, where <inline-formula id="inf29">
<mml:math id="m37">
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>. Then by Lemma 2.5, we can obtain the {1}-inverse of <italic>L</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub> as follows.<disp-formula id="equ9">
<mml:math id="m38">
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mtable class="matrix">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>J</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#xd7;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Thus, for vertices <italic>i</italic>, <italic>j</italic> &#x2208; <italic>S</italic>, by Lemma 2.3, we have<disp-formula id="equ10">
<mml:math id="m39">
<mml:mtable class="align-star" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>J</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#xd7;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>J</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#xd7;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>J</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#xd7;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>J</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#xd7;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>The proof is complete. &#x25a1;</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement>
<p>Theorem 3.1indicates that, if <italic>S</italic> &#x2282; <italic>V</italic>(<italic>G</italic>) satisfies that all the vertices in <italic>S</italic> have the same neighborhood <italic>N</italic> in <italic>G</italic> &#x2212; <italic>S</italic>, then resistance distances between vertices in <italic>S</italic> depends only on the subgraph <italic>G</italic>[<italic>S</italic>] and the cardinality of <italic>N</italic>. In other words, if we use <italic>G</italic>&#x2a; to denote the subgraph obtained from <italic>G</italic>[<italic>S</italic> &#x222a; <italic>N</italic>] by deleting all the edges between vertices in <italic>N</italic> (see <xref ref-type="fig" rid="F1">Figure 1</xref>), then resistance distances between vertices in <italic>S</italic> depends only on <italic>G</italic>&#x2a;. In fact, for <italic>i</italic>, <italic>j</italic> &#x2208; <italic>S</italic>, <inline-formula id="inf30">
<mml:math id="m40">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
</inline-formula>, as shown in the following.</p>
</statement>
</p>
<fig id="F1" position="float">
<label>FIGURE 1</label>
<caption>
<p>Illustration of graphs <italic>G</italic> and its subgraph <italic>G</italic>&#x2a;.</p>
</caption>
<graphic xlink:href="fphy-10-896886-g001.tif"/>
</fig>
<p>
<statement content-type="theorem" id="Theorem_3_2">
<label>Theorem 3.2</label>
<p>
<italic>Let</italic> <italic>S</italic> &#x2282; <italic>V</italic>(<italic>G</italic>) <italic>such that all the vertices in</italic> <italic>S</italic> <italic>have the same neighborhood</italic> <italic>N</italic> <italic>in</italic> <italic>G</italic> &#x2212; <italic>S</italic>
<italic>. Let</italic> <italic>G</italic>&#x2a; <italic>the graph obtained from</italic> <italic>G</italic>[<italic>S</italic> &#x222a; <italic>N</italic>] <italic>by deleting all the edges between vertices in</italic> <italic>N</italic>
<italic>. Then for</italic> <italic>i</italic>, <italic>j</italic> &#x2208; <italic>S</italic>
<italic>, we have</italic>
<disp-formula id="equ11">
<mml:math id="m41">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
<italic>where</italic> <inline-formula id="inf31">
<mml:math id="m42">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>I</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>
<italic>.</italic>
</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement content-type="proof" id="uProof_4">
<label>Proof</label>
<p>According to the definition of <italic>G</italic>&#x2a;, it is readily to see that the Laplacian matrix of <italic>G</italic>&#x2a; is<disp-formula id="equ12">
<mml:math id="m43">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mtable class="matrix">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>J</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#xd7;</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>J</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>&#xd7;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>I</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Since each column vector of <inline-formula id="inf32">
<mml:math id="m44">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>J</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>&#xd7;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> is &#x2212; <bold>e</bold>, by Lemma 2.5, we can obtain the symmetric {1}-inverse of <inline-formula id="inf33">
<mml:math id="m45">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula> as follows:<disp-formula id="equ13">
<mml:math id="m46">
<mml:mi>Y</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mtable class="matrix">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>where <inline-formula id="inf34">
<mml:math id="m47">
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>I</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>J</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>&#xd7;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>J</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#xd7;</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>. Hence by Lemma 2.3, we have<disp-formula id="equ14">
<mml:math id="m48">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2a;</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>as required. &#x25a1;</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement content-type="remark" id="Remark_1">
<label>Remark 1</label>
<p>Combining Theorems 3.1 and 3.2, we could conclude that if <italic>S</italic> &#x2282; <italic>V</italic>(<italic>G</italic>) satisfies that all the vertices in <italic>S</italic> have the same neighborhood <italic>N</italic> in <italic>G</italic> &#x2212; <italic>S</italic>, then resistance distances between vertices in <italic>S</italic> can be computed as in the subgraph obtained from <italic>G</italic>[<italic>S</italic> &#x222a; <italic>N</italic>] by deleting all the edges between vertices in <italic>N</italic>. It should be mentioned that this fact, known as the reduction principle, was established in [<xref ref-type="bibr" rid="B14">14</xref>]. We confirm this result by algebraic method, rather than electric network method as used in [<xref ref-type="bibr" rid="B14">14</xref>]. Furthermore, we also give an exact formula for resistance distances between vertices in <italic>S</italic>. By Theorem 3.1, we are able to establish some interesting properties.</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement content-type="theorem" id="Theorem_3_3">
<label>Theorem 3.3</label>
<p>
<italic>Let</italic> <italic>S</italic> &#x2282; <italic>V</italic>(<italic>G</italic>) <italic>such that all the vertices in</italic> <italic>S</italic> <italic>have the same neighborhood</italic> <italic>N</italic> <italic>in</italic> <italic>G</italic> &#x2212; <italic>S</italic>
<italic>. Then for</italic> <italic>i</italic>, <italic>j</italic> &#x2208; <italic>S</italic> <italic>and</italic> <italic>u</italic> &#x2208; <italic>G</italic> &#x2212; <italic>S</italic>
<italic>, we have</italic>
<disp-formula id="equ15">
<mml:math id="m49">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
<italic>where</italic> <inline-formula id="inf35">
<mml:math id="m50">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>I</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>
<italic>.</italic>
</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement content-type="proof" id="uProof_5">
<label>Proof</label>
<p>As given in the proof of Theorem 3.1, we know that the {1}-inverse of <italic>L</italic>
<sub>
<italic>G</italic>
</sub> is<disp-formula id="equ16">
<mml:math id="m51">
<mml:mi>X</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:mtable class="matrix">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>J</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#xd7;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="center">
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>where <italic>&#x3be;</italic> be a real number and <inline-formula id="inf36">
<mml:math id="m52">
<mml:mi>S</mml:mi>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
</inline-formula>. By Lemma 2.3, we have<disp-formula id="equ17">
<mml:math id="m53">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mfenced open="[" close="]">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>Note that <italic>L</italic>
<sub>1</sub> is nonsingular and every row sums to <italic>k</italic> and each column vector of <italic>L</italic>
<sub>2</sub> is &#x2212; <bold>e</bold> or a zero vector. So by Lemma 2.6, we know that each column of <inline-formula id="inf37">
<mml:math id="m54">
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mi>S</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>&#x23;</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:math>
</inline-formula> is proportional to all-one vector, which implies that (<italic>X</italic>)<sub>
<italic>iu</italic>
</sub> &#x3d; (<italic>X</italic>)<sub>
<italic>ju</italic>
</sub>. Since <italic>X</italic> is real symmetric, we also have (<italic>X</italic>)<sub>
<italic>ui</italic>
</sub> &#x3d; (<italic>X</italic>)<sub>
<italic>uj</italic>
</sub>. It follows that<disp-formula id="equ18">
<mml:math id="m55">
<mml:mtable class="align-star" columnalign="left">
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>X</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2b;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mi>&#x3be;</mml:mi>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr>
<mml:mtd columnalign="right"/>
<mml:mtd columnalign="left">
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:msubsup>
<mml:mrow>
<mml:mi>L</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
<p>This completes the proof. &#x25a1;</p>
<p>It is interesting to note from Theorem 3.2 that the difference between &#x3a9;<sub>
<italic>G</italic>
</sub> (<italic>i</italic>, <italic>u</italic>) and &#x3a9;<sub>
<italic>G</italic>
</sub> (<italic>j</italic>, <italic>u</italic>) depends only on the subgraph <italic>G</italic> [<italic>S</italic>] and the cardinality of <italic>N</italic>, no matter the chosen of <italic>u</italic>. Then we have the following result.</p>
</statement>
</p>
<p>
<statement content-type="corollary" id="Corollary_3_4">
<label>Corollary 3.4</label>
<p>
<italic>Let</italic> <italic>S</italic> &#x2282; <italic>V</italic>(<italic>G</italic>) <italic>such that all the vertices in</italic> <italic>S</italic> <italic>have the same neighborhood</italic> <italic>N</italic> <italic>in</italic> <italic>G</italic> &#x2212; <italic>S</italic>
<italic>. Then for</italic> <italic>i</italic>, <italic>j</italic> &#x2208; <italic>S</italic> <italic>and</italic> <italic>u</italic>, <italic>v</italic> &#x2208; <italic>G</italic> &#x2212; <italic>S</italic>
<italic>, we have</italic>
<disp-formula id="equ19">
<mml:math id="m56">
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x3d;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>v</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>&#x2212;</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">&#x3a9;</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfenced open="(" close=")">
<mml:mrow>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>v</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:math>
</disp-formula>
</p>
</statement>
</p>
</sec>
</body>
<back>
<sec id="s4">
<title>Data Availability Statement</title>
<p>The original contributions presented in the study are included in the article/Supplementary Material, further inquiries can be directed to the corresponding author.</p>
</sec>
<sec id="s5">
<title>Author Contributions</title>
<p>YY contributed to conception and design of the study. WS performed the theoretical analysis and wrote the first draft of the manuscript. YY revised the manuscript. Both authors read, and approved the submitted version.</p>
</sec>
<sec sec-type="COI-statement" id="s6">
<title>Conflict of Interest</title>
<p>The authors declare that the research was conducted in the absence of any commercial or financial relationships that could be construed as a potential conflict of interest.</p>
</sec>
<sec sec-type="disclaimer" id="s7">
<title>Publisher&#x2019;s Note</title>
<p>All claims expressed in this article are solely those of the authors and do not necessarily represent those of their affiliated organizations, or those of the publisher, the editors and the reviewers. Any product that may be evaluated in this article, or claim that may be made by its manufacturer, is not guaranteed or endorsed by the publisher.</p>
</sec>
<ack>
<p>The authors would like to thank the anonymous referees for their helpful comments and suggestions. The support of the National Natural Science Foundation of China (through Grant No. 12171414) and Natural Science Foundation of Shandong Province (through no. ZR2019YQ02) is greatly acknowledged.</p>
</ack>
<ref-list>
<title>References</title>
<ref id="B1">
<label>1.</label>
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Bapat</surname>
<given-names>RB</given-names>
</name>
</person-group>. <article-title>Resistance Distance in Graphs</article-title>. <source>Math Stud</source> (<year>1999</year>) <volume>68</volume>(<issue>1-4</issue>):<fpage>87</fpage>&#x2013;<lpage>98</lpage>. </citation>
</ref>
<ref id="B2">
<label>2.</label>
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Bapat</surname>
<given-names>RB</given-names>
</name>
<name>
<surname>Gupta</surname>
<given-names>S</given-names>
</name>
</person-group>. <article-title>Resistance Distance in Wheels and Fans</article-title>. <source>Indian J Pure Appl Math</source> (<year>2010</year>) <volume>41</volume>(<issue>1</issue>):<fpage>1</fpage>&#x2013;<lpage>13</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1007/s13226-010-0004-2</pub-id> </citation>
</ref>
<ref id="B3">
<label>3.</label>
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Bu</surname>
<given-names>C</given-names>
</name>
<name>
<surname>Sun</surname>
<given-names>L</given-names>
</name>
<name>
<surname>Zhou</surname>
<given-names>J</given-names>
</name>
<name>
<surname>Wei</surname>
<given-names>Y</given-names>
</name>
</person-group>. <article-title>A Note on Block Representations of the Group Inverse of Laplacian Matrices</article-title>. <source>Electron J Linear Algebra</source> (<year>2012</year>) <volume>23</volume>:<fpage>866</fpage>&#x2013;<lpage>76</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.13001/1081-3810.1562</pub-id> </citation>
</ref>
<ref id="B4">
<label>4.</label>
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Bu</surname>
<given-names>C</given-names>
</name>
<name>
<surname>Yan</surname>
<given-names>B</given-names>
</name>
<name>
<surname>Zhou</surname>
<given-names>X</given-names>
</name>
<name>
<surname>Zhou</surname>
<given-names>J</given-names>
</name>
</person-group>. <article-title>Resistance Distance in Subdivision-Vertex Join and Subdivision-Edge Join of Graphs</article-title>. <source>Linear Algebra its Appl</source> (<year>2014</year>) <volume>458</volume>:<fpage>454</fpage>&#x2013;<lpage>62</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.laa.2014.06.018</pub-id> </citation>
</ref>
<ref id="B5">
<label>5.</label>
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Cao</surname>
<given-names>J</given-names>
</name>
<name>
<surname>Liu</surname>
<given-names>J</given-names>
</name>
<name>
<surname>Wang</surname>
<given-names>S</given-names>
</name>
</person-group>. <article-title>Resistance Distances in corona and Neighborhood corona Networks Based on Laplacian Generalized Inverse Approach</article-title>. <source>J Algebra Appl</source> (<year>2019</year>) <volume>18</volume>(<issue>3</issue>):<fpage>1950053</fpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1142/s0219498819500531</pub-id> </citation>
</ref>
<ref id="B6">
<label>6.</label>
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Chen</surname>
<given-names>H</given-names>
</name>
<name>
<surname>Zhang</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
</person-group>. <article-title>Resistance Distance and the Normalized Laplacian Spectrum</article-title>. <source>Discrete Appl Maths</source> (<year>2007</year>) <volume>155</volume>:<fpage>654</fpage>&#x2013;<lpage>61</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.dam.2006.09.008</pub-id> </citation>
</ref>
<ref id="B7">
<label>7.</label>
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Fowler</surname>
<given-names>PW</given-names>
</name>
</person-group>. <article-title>Resistance Distances in Fullerene Graphs</article-title>. <source>Croat Chem Acta</source> (<year>2002</year>) <volume>75</volume>(<issue>2</issue>):<fpage>401</fpage>&#x2013;<lpage>8</lpage>. </citation>
</ref>
<ref id="B8">
<label>8.</label>
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Klein</surname>
<given-names>DJ</given-names>
</name>
<name>
<surname>Randi&#x107;</surname>
<given-names>M</given-names>
</name>
</person-group>. <article-title>Resistance Distance</article-title>. <source>J Math Chem</source> (<year>1993</year>) <volume>12</volume>:<fpage>81</fpage>&#x2013;<lpage>95</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1007/bf01164627</pub-id> </citation>
</ref>
<ref id="B9">
<label>9.</label>
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Liu</surname>
<given-names>JB</given-names>
</name>
<name>
<surname>Pan</surname>
<given-names>XF</given-names>
</name>
<name>
<surname>Hu</surname>
<given-names>FT</given-names>
</name>
</person-group>. <article-title>The {1}-inverse of the Laplacian of Subdivision-Vertex and Subdivision-Edge Coronae with Applications</article-title>. <source>Linear and Multilinear Algebra</source> (<year>2017</year>) <volume>65</volume>(<issue>1</issue>):<fpage>178</fpage>&#x2013;<lpage>91</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1080/03081087.2016.1179249</pub-id> </citation>
</ref>
<ref id="B10">
<label>10.</label>
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Liu</surname>
<given-names>JB</given-names>
</name>
<name>
<surname>Wang</surname>
<given-names>WR</given-names>
</name>
<name>
<surname>Zhang</surname>
<given-names>YM</given-names>
</name>
<name>
<surname>Pan</surname>
<given-names>XF</given-names>
</name>
</person-group>. <article-title>On Degree Resistance Distance of Cacti</article-title>. <source>Discrete Appl Maths</source> (<year>2016</year>) <volume>203</volume>:<fpage>217</fpage>&#x2013;<lpage>25</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.dam.2015.09.006</pub-id> </citation>
</ref>
<ref id="B11">
<label>11.</label>
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Palacios</surname>
<given-names>JL</given-names>
</name>
</person-group>. <article-title>Resistance Distance in Graphs and Random Walks</article-title>. <source>Int J Quant Chem</source> (<year>2001</year>) <volume>81</volume>(<issue>1</issue>):<fpage>29</fpage>&#x2013;<lpage>33</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1002/1097-461x(2001)81:1&#x3c;29::aid-qua6&#x3e;3.0.co;2-y</pub-id> </citation>
</ref>
<ref id="B12">
<label>12.</label>
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Sardar</surname>
<given-names>MS</given-names>
</name>
<name>
<surname>Alaeiyan</surname>
<given-names>M</given-names>
</name>
<name>
<surname>Farahani</surname>
<given-names>MR</given-names>
</name>
<name>
<surname>Cancan</surname>
<given-names>M</given-names>
</name>
<name>
<surname>Ediz</surname>
<given-names>S</given-names>
</name>
</person-group>. <article-title>Resistance Distance in Some Classes of Rooted Product Graphs Obtained by Laplacian Generalized Inverse Method</article-title>. <source>J Inf Optimization Sci</source> (<year>2021</year>) <volume>42</volume>(<issue>7</issue>):<fpage>1447</fpage>&#x2013;<lpage>67</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1080/02522667.2021.1899210</pub-id> </citation>
</ref>
<ref id="B13">
<label>13.</label>
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Sun</surname>
<given-names>L</given-names>
</name>
<name>
<surname>Wang</surname>
<given-names>W</given-names>
</name>
<name>
<surname>Zhou</surname>
<given-names>J</given-names>
</name>
<name>
<surname>Bu</surname>
<given-names>C</given-names>
</name>
</person-group>. <article-title>Some Results on Resistance Distances and Resistance Matrices</article-title>. <source>Linear and Multilinear Algebra</source> (<year>2015</year>) <volume>63</volume>(<issue>3</issue>):<fpage>523</fpage>&#x2013;<lpage>33</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1080/03081087.2013.877011</pub-id> </citation>
</ref>
<ref id="B14">
<label>14.</label>
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Yang</surname>
<given-names>Y</given-names>
</name>
<name>
<surname>Zhang</surname>
<given-names>H</given-names>
</name>
</person-group>. <article-title>Some Rules on Resistance Distance with Applications</article-title>. <source>J Phys A: Math Theor</source> (<year>2008</year>) <volume>41</volume>(<issue>44</issue>):<fpage>445203</fpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1088/1751-8113/41/44/445203</pub-id> </citation>
</ref>
<ref id="B15">
<label>15.</label>
<citation citation-type="journal">
<person-group person-group-type="author">
<name>
<surname>Zhang</surname>
<given-names>H</given-names>
</name>
<name>
<surname>Yang</surname>
<given-names>Y</given-names>
</name>
</person-group>. <article-title>Resistance Distance and Kirchhoff index in Circulant Graphs</article-title>. <source>Int J Quan Chem.</source> (<year>2007</year>) <volume>107</volume>(<issue>2</issue>):<fpage>330</fpage>&#x2013;<lpage>9</lpage>. <pub-id pub-id-type="doi">10.1002/qua.21068</pub-id> </citation>
</ref>
</ref-list>
</back>
</article>